Page 95 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

de modo que
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn
d y d y a 0 a 0 a 1 a 1 2 a n−1 (n−1) (4.32)
3t
′ ′α 2 +3tα
=9t
(4.4)
a n−1 (n−1)
y − . ..
=
+ f
yy
y
= − − e y − − y − . .. − − 1 + α 0 + f(t) (t) (4.4)
nn
dt dt a n a n a n a n a n a n
e 3t =6tα 2 + α 1 (4.33)
y se hacen los cambios de variables 3t
y se hacen los cambios de variables
e =2α 2 (4.34)
(4.5)
(n−1)
y =
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = (4.5)
y =
′ ′
.
De la ecuaci´ on (4.34) se obtiene α 2 = x n x n
e 3t
α 2 = . (4.35)
se observa que que 2
se observa
Sustituyendo (4.35) en (4.33) se obtiene α 1
(n) (n)
(n−1)
.
′′ ′′
′ ′
y = x =
=
y = x =
′ ′
=
=
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 ,  . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
′ ′
′ ′
n−1
1 1
nn
2 2

3t
e 3t =6t e + α 1
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): 2
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
3t
3t
3t
α 1 = e +3te = (1 − 3t)e . (4.36)
=
xx
′ ′
1 1 = x 2 x 2
=
xx = x 3 x 3
′ ′
Finalmente, α 0 se obtiene sustituyendo los valores encontrados de α 1 y α 2 en la ecuaci´ on (4.32) como
2 2
. .
. .
sigue . .
xx = x n x n
=
′ ′
n−1
 n−1 
3t
e 3t
2
3t
y en consecuencia e =9t +3t(1 − 3t)e + α 0
y en consecuencia
2
a 1 a 1 a n−1
a n−1
(4.6)

x n + f
x = x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
a 0 a 0 
′ ′
x = − − x 1 − − 9 x 2 − . .. − −
x 1
nn
2
α 0 = a n a n 1 − t − 3t +9t 2 a n a n e 3t
a n a n
2
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. 

9
3t
= 1 − 3t + t 2 e . (4.37)
Ejemplo 4.1 4.1 2
Ejemplo
Sustituyendo α 0 , α 1 y α 2 se encuentra la matriz exponencial:
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
   
e 3t 9
3t
3t
2
2
9α 2 t 3α 1 + α 0 =9 2y − 6y +4y − y = sen(t) 2 2 e = e 3t
′′ ′′ t +3t(1 − 3t)e + 1 − 3t + t
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′ ′
′′ ′′
2
 
e 3t
3t
3t
2 3t
2 3t
2
2
6α
a la forma normal.2 t + α 1 t =6 t + t(1 − 3t)e =3t e + te − 3t e = te 3t
a la forma normal.
2
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on 3t
e
α 2 t 2 = t 2
2 yy 11
y = = − 2y +3y + + sen(t)
sen(t)
− 2y +3y
y
′ ′
′′ ′′
′′ ′′
 22 3t  22  2 
e 3t te 3t t 2 e 1 t t
2 2
At
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
3t
3t
3t

e
′′ ′′ 
′ ′ 

te
=  0
 = e  01
e
t 
0 0 e 3t 00 1
y =
y = x =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
′′ ′′
′ ′
′′′′′′
′ ′
′ ′
′ ′
1 1
3 3
2 2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Ejemplo 4.17
x 1 x 1 11
x
  x = = − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
sen(t)
′ ′
00 0 3 3 22 − 2x 2 +3x 3 22
Hallar e At para A =  10 0 


10 1
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 95