Page 98 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

= AΨ(t); en consecuencia:
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
4.2.2.
At
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
At
3. Si se hace Ψ(t)= e , entonces Ψ (t)= Ae
′
can´ onica
can´ onica
4. Ψ(0) = I
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
−1
At −As
5. e e = e (t−s)A o Ψ(t)Ψ (t) = Ψ(t − s)
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
Al utilizar las propiedades anteriores en la soluci´ on general (4.46) se tiene 4
posible.
posible.
t
Ejemplo 4.2 X = e C + e e F(s)ds
Ejemplo 4.2
At
At −As
t 0
Reducir el siguiente sistema: t
Reducir el siguiente sistema:
At
= e C + e (t−s)A F(s)ds
t 0
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y =
(D − D + 5)x +2D y = e e t t (4.7)
t

= Ψ(t)C + 2 2 Ψ(t − s)F(s)ds (4.47)
2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
t 0
Si no hay condiciones iniciales
a la forma normal.
a la forma normal.
At
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema X = e C + e At e −At f(t)dt (4.48)
2 2
(4.9)
2 2
t t
D x +2D y = e − 5x + Dx
Ejemplo 4.18 D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2 2
2 2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −

01
˙
Hallar la soluci´ on general de X = X.
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
10
Soluci´ on: El sistema es homog´ eneo dado que F(t)=0, entonces X = X c = Ψ(t)C = e C. Del
At
ejemplo 4.15, la matriz exponencial para la matriz A de este problema es la expresi´ on (4.28)
t t
2 2
2 2
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)

t t(t) senh(t)
cosh
2 2
(4.11)
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
e At D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
=
senh(t) cosh(t)
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Por lo tanto, por la propiedad e At = Ψ(t), la soluci´ on buscada es
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
X = Ψ(t)C
2 2
Dv =3t +2x −

Dv =3t +2x − 2y 2y

cosh(t) senh(t) c 1 c 1 cosh(t)+ c 2 senh(t)
= =
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal c 1 senh(t)+ c 2 cosh(t)
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
senh(t) cosh(t)
c 2

cosh(t) senh(t)
Dx =
Dx = u u
= c 1 + c 2 (4.49)
senh(t) cosh(t)
Dy =
Dy = v v
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
Ejemplo 4.19

01 1
˙
Hallar la soluci´ on general de X = X + .
10 1
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
Soluci´ on: N´ otese que A es id´ entica que la del ejemplo anterior y que no se tienen condiciones iniciales,
por lo tanto la soluci´ on buscada es de la forma (4.48).
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
4
−1
(s); solamente se reemplaza t por (t − s) en Ψ(t)
No es necesario calcular Ψ
98 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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