Page 90 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
4.2.2.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
2 −7
Verifique el teorema de Cayley-Hamilton para A =
can´ onica
can´ onica 3 6
Soluci´ on: Para la matriz A − λI:
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el

2 − λ

2
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
= (2 − λ)(6 − λ) + 21 = 12 − 8λ + λ + 21
−7
det(A − λI)=
3 6 − λ
posible.
posible.
2
= λ − 8λ + 33
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
se tiene el polinomio λ − 8λ + 33=0. Por lo tanto, se debe verificar que la matriz A satisface su propio
2
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
polinomio caracter´ ıstico A − 8A + 33I = 0.
2
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = e e
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
2 2 2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t −14 − 42
4 − 21
2 −7 −2x +(D + 2)y =3t −17 −56 (4.8)
2 −7
A 2 = = =
3 6 3 6 6+18 −21 + 36 24 15
a la forma normal.
a la forma normal.

2 −7
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema = −16 56
−8A = −8
3 6 −24 −48
2 2
t t
(4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)

2 2
10 33 0
33I = 33 = D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
(4.10)
2 2
2 2
10 D y =3t +2x −
0
33

Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 56 33 0 00
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) −16
−17 −56
2
A − 8A + 33I = + + = = 0
24 15 −24 −48 0 33 00
t t
2 2
2 2
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
t t
(4.11)
2 2
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
4.3.3. Matriz exponencial e At
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Definici´ on 4.6 Para una matriz cuadrada A, t t 2 2
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
∞
Dv =3t +2x − 1
Dv =3t +2x − 2y 2y
1 2 2 1
n n
n n
e At = A t = I + At + A t + · ··
n! 1! 2!
n=0
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
donde la serie infinita anterior converge para cualquier A y t, as´ ı que e At est´ a definida para todas las
Dx = u u
Dx =
matrices cuadradas.
Dy = v v
Dy =
t t
2 2
C´ alculo de e At Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
El c´ omputo de e At de acuerdo con la definici´ on anterior no es muy ´ util. Sin embargo, de acuerdo con
el teorema de Cayley-Hamilton, la serie infinita puede reducirse a un polinomio en t.
Definici´ on 4.7 Si A es una matriz cuadrada (que tiene n filas y n columnas) entonces
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
2 2
t
e At = α n−1 A n−1 n−1 + α n−2 A n−2 n−2 + · ·· + α 2 A t + α 1 At + α 0 I
t
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
donde α 0 ,α 1 ,. .., α n−1 son funciones de t que
la forma normal son degenerados o degradados deben determinarse para cada A.
90 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
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