Page 97 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sustituyendo los valores de α 2 , α 1 y α 0 en la ecuaci´ on (4.38) como sigue
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn
d y d y a 0 a 0 α 1 t = t a n−1 (n−1)
a 1 a 1
a n−1 (n−1)
(4.4)
y − . ..
′ ′
=
y
+ f
= − − y − − y − . .. − −  yy + f(t) (t) (4.4)
nn
dt dt a n a n a n a n e − t − 1 a n a n

t
2
2
t
α 2 t + α 1 t = 2 t + t = e − 1 (4.43)
y se hacen los cambios de variables t
y se hacen los cambios de variables
2
α 2 t + α 1 t + α 0 = e t (4.44)
(4.5)
(n−1)
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
y =
.
y =
′ ′
=
se obtiene la matriz exponencial buscada
se observa que que  1 00 
se observa

e At =  t 10 

(n) (n)
(n−1)
′ ′
.
. .., ..,
=
′ ′
yy
=
′′ ′′
y = x =
y = x =
′ ′
′ ′
=
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , e − 10 e (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
n−1
nn
2 2
t
1 1
t
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
xx = x 3 x 3
=
′ ′
2 2
4.4. Soluci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de pri-
. .
. .
. .
mer orden con coeficientes constantes mediante el m´ etodo de la
xx
=
′ ′
= x n x n
n−1
n−1
y en consecuencia At
y en consecuencia
matriz exponencial e
a n−1
(4.6)
x = a 0 a 0 a 1 a 1 x 2 − . .. a n−1 x n + f(t) (t) (4.6)
x n + f
′ ′
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − −
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
La soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Ejemplo 4.1 4.1 ˙ x = ax + f(t)
Ejemplo
donde a es una constante puede expresarse como
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
t

′ ′ at
′′ ′′ at
x = x c + x p = ce + e e −as (4.45)
2y − 6y +4y − y = sen(t) f(s)ds
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
t 0
En el caso de los
a la forma normal. sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on
˙
X = AX + F(t)
yy 11
y
− 2y +3y
y = = − 2y +3y + + sen(t)
sen(t)
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
22 constantes, es
donde A es una matriz de n × n formada por 22
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
t

′ ′
′′ ′′
At
X = X c + X p = e C + e At e −As F(s)ds (4.46)
t 0
y =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
y = x =
′′ ′′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′′′′′′
3 3
1 1
2 2
Nota: en la pr´ actica, e −As puede obtenerse a partir de e At reemplazando t por −s.
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Propiedades de matrices que aplican para e At
x 1 x 1 11
x = = − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
sen(t)
x
′ ′
− 2x 2 +3x 3
3 3
0
1. e = I 22 22
2. d (e )= Ae At
At
dt
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 97