Page 96 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales
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Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
4.2.2.
2 2
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Soluci´ on: Con n =3, la matriz exponencial buscada es de la forma e At = α 2 A t + α 1 At + α 0 I
can´ onica 00 0 00 0 00 0 0 0 0
can´ onica
2 2
2
2
α 2 A t = α 2 10 0 10 0 t = α 2 00 0 t = 0 0 0
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
10 1 10 1 10 1 α 2 t 2 0 α 2 t 2
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible. 00 0 0 0 0
posible.
α 1 At = α 1 t 00 = t 0 0
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
t 0 t α 1 t 0 α 1 t
Reducir el siguiente sistema: α 0 0 0
Reducir el siguiente sistema: 0
10
α 0 I = α 0 01 0 = 0 α 0 0
2 2
2 2
(4.7)
(D − D + 5)x +2D y = e e
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
00 1 0 0 α 0
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
2 2
e At = α 2 A t + α 1 At + α 0 I
a la forma normal.
a la forma normal.
0 0 0 0 0 0 α 0 0 0
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
0 0 0 + t 0 0 + 0
= α 0 0
t t
2 2
(4.9)
α 2 t 2 0 α 2 t 2 2 2 α 1 t 0 α 1 t 0 0 α 0 (4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx
2 2 2 2
(4.10)
0 D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
0
α 0 D y =3t +2x −
(4.38)
= α 1 t α 0 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
2
2
α 2 t + α 1 t 0 α 2 t + α 1 t + α 0
Se procede a encontrar los valores eigen de At
2 2
2 2
2 2
t t
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
det(At − λI)= 0
(4.11)
2 2
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
t t
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
−λ 0 0
2
=(−λ)[(−λ)(t − λ)] = λ (t − λ) =0
det(At − λI)= t
−λ
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
t 0 t − λ
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2 2
Dv =3t +2x − con
Dv =3t +2x − 2y 2y multiplicidad k =2 y λ 3 = t. Debido a la
De donde se obtienen los valores eigen λ 1 = λ 2 =0
multiplicad de los valores eigen, el sistema de ecuaciones se construye de acuerdo al Corolario 4.2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
dr(λ i )
2
r(λ 1 )= α 2 λ + α 1 λ 1 + α 0 , =2α 2 λ i + α 1 |
1
Dx = u u dλ λ=λ 2,3
Dx =
de modo que
Dy = v v
Dy =
t
2
=
e
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u (4.39)
t t α 2 t + α 1 t + α 0
2
e 0·t =1 = 2 2 α 2 (0) + α (4.40)
Dv =3t +2x − 2 2 1 (0) + α 0 = α 0
Dv =3t +2x −
e 0·t = 1=2α 2 (0) + α 1 = α 1 (4.41)
De la ecuaci´ on (4.41) se obtiene α 1 =1 y de la ecuaci´ on (4.40) se obtiene α 0 =1. Sustituyendo estos
valores en (4.39) se tiene
4.2.3.
4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
Sistemas degenerados o degradados
e t 2
= t + t + α 0
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
t
e − t − 1
la forma normal son degenerados o degradados (4.42)
la forma normal son degenerados o degradados =
α 0
t 2
96 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
