Page 99 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

La soluci´ on complementaria X c es la misma que la obtenida en (4.49). Ahora
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma: bien, haciendo t = −t
en e :
At
d y d y a 0 a 0 a 1 a 1 ′ ′ a n−1 (n−1) − senh(t)
 nn   
cosh(−t) senh(−t)
cosh(t)
a n−1 (n−1)
(4.4)
=
y
+ f
y − . ..
=
e −At = dt dt = − − y − − y − . .. − − yy + f(t) (t) (4.4)
nn
a n a n
a n a n
senh(−t) cosh(−t) a n a n cosh(t)
− senh(t)
y se hacen los cambios de variables   T
y se hacen los cambios de variables
Entonces se calcula la integral de (4.48), con F(t)= 11 :
(4.5)
(n−1)
y =
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 ,   yy (n−1)   (4.5)
′ ′
. .., ..,
.
=
y =

  cosh(t) − senh(t) 1  = x n x n cosh t − senh t
e −At F(t)dt = dt = dt
se observa
se observa que que − senh(t) cosh(t) 1 − senh t + cosh t
   
e +e − e −e e −t
 t −t t −t 
= 2 2 dt = dt
′ ′ −t
t
t
(n) (n)
y = x =
=
=
(n−1) −t
=
.
′ ′
y = x =
′ ′
′ ′
e +e
′′ ′′ e −e
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , 2 −t . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
e
2 2 +
n−1
−
nn
1 1
2
 
−e −t
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
=
−e −t
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
xx = x 3 x 3
=
′ ′
2 2
Ahora, . .
. .
. .
     
   t −t t −t
 −t −e −t e +e + e −e
= −e
cosh(t) senh(t) ′ ′ = x n x n
xx
n−1
e At e −At F(t)dt = n−1 =   t 2 −t   t 2 −t  
y en consecuencia senh(t) cosh(t) −e −t −e −t e −e + e +e
y en consecuencia
2
2

 a 0 a 0  a 1 a 1  a n−1
a n−1
(4.6)
t
x =e
x n + f
′ ′
x = − − x 1 − − −1 x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
x 2 − . .. − −
x 1
nn
−t
= −e a n a n = a n a n a n a n
e t −1
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Con estos resultados, la soluci´ on que se obtiene es la siguiente
Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1
     
cosh(t) senh(t) −1
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden + c 2 +
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
X = X c + X p = c 1
senh(t) cosh(t) −1
2y − 6y +4y − y = sen(t)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
Ejemplo 4.20
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on
Resolver ¨x + 2˙x − 8x = e sujeta a x(0) = 1 y ˙x(0) = −4.
t
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial se ′′ ′′ rescribe como un sistema de dos ecuaciones de primer orden como
yy
11
y
− 2y +3y
y = = − 2y +3y + + sen(t)
sen(t)
′ ′
′′ ′′
22
22
sigue. Se despeja la derivada de mayor orden ¨x = −2˙x +8x + e y se realizan los siguientes cambios de
t
variables ′ ′ ′′ ′′
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
(4.50)
x = x 1
y =
y = x =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
′′′′′′
′ ′
′ ′
′ ′
′′ ′′
′ ′
2 2
1 1
3 3
˙ (4.51)
˙ x = x 1 = x 2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica (4.52)
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
¨ x = x 2
11
Con esto se puede escribir el sistema ′ ′ de ecuaciones diferenciales de primer orden:
x 1 x 1
− 2x 2 +3x 3 + +
sen(t)
sen(t)
x = =
x
− 2x 2 +3x 3
3 3
     
22 22
0 1 0
˙ x 1 = x 2 ˙ x 1 x 1
⇒ = +
˙ x 2 = −2x 2 +8x 1 + e t ˙ x 2 8 −2 x 2 e t
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 99