Page 93 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Finalmente, la matriz exponencial buscada es
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:

5t
5t
α 1 t nn a 0 a 0 2α 1 t a 1 a 1 1 2e +4e −t 2e − 2e −t
d y d y + α 0
(4.4)
a n−1 (n−1)
=
e At = = − − y − − y − . .. − − a n−1 (n−1) + f(t) (t) (4.4)
y
=
y − . ..
+ f
yy
′ ′
nn
5t
3α
dt dt t a n a n 1 t + α 0 6 4e 5t −t 4e +2e −t
a n a n − 4e
a n a n
4α 1
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
Ejemplo 4.15 y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
(n−1)
(4.5)
=
y =
′ ′
.
y =

se observa
se observa que que 01
At
para A =
Hallar e
10
Soluci´ on: y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , . .., .., yy (n−1) = xx = x n , x n , yy = xx
′ ′ Como n =2
(n−1)
(n) (n)
y = x =
′ ′
=
′′ ′′
.
′ ′
=
y = x =
′ ′
=
′ ′
1 1
n−1

2 2 n−1 nn

0 t 0 α 1 t α 0 0
At
= α 1 At + α 0 I, At =
e
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): t 0 ,α 1 At = α 1 t 0 ,α 0 I = 0 α 0 .
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
′ ′
xx =
2 2
0 α 1 t = x 3 x 3 α 0 0 α 0 α 1 t
e At = α 1 At + α 0 I = . . + = (4.23)
. .
α 1 t 0 . . 0 α 0 α 1 t α 0
=
xx n−1 = x n x n
′ ′
n−1
El polinomio r(λ) queda definido como
y en consecuencia
y en consecuencia
a 0 a 0 r(λ)= a n−1
a n−1
(4.6)
a 1 a 1 α 1 λ + α 0
x = x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
x n + f
′ ′
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − −
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
Se procede a encontrar los valores eigen de At
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.

Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1 −λ t 2 2
det(At − λI)= = λ − t =(λ − t)(λ + t) =0
t −λ
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
De donde se obtienen los valores eigen λ 1 = t y λ 2 = −t. Se construye ahora el sistema de ecuaciones
e = r(λ i ) con i =1, 2. 2y − 6y +4y − y = sen(t)
λ i
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′ ′
′′ ′′
′′ ′′
t (4.24)
a la forma normal. e = α 1 (t)+ α 0 = α 1 t + α 0
a la forma normal.
e −t (4.25)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on = α 1 (−t)+ α 0 = −α 1 t + α 0
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Sumando las ecuaciones (4.24) y (4.25) y resolviendo para α
yy
11 0
− 2y +3y
sen(t)
y = = − 2y +3y + + sen(t)
y
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
22 22
t
(α 1 t + α 0 )+(−α 1 t + α 0 )= e + e −t
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
′ ′
′′ ′′
−t
t
2α 0 = e + e
1 t −t
α ′′ ′′ 0 = e + e ′′′′′′ = cosh(t) (4.26)
y = x =
y =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
2 2 2
1 1
3 3
Sustituyendo el valor encontrado en (4.26) en la ecuaci´ on (4.24) se encuentra el valor de α 1 como sigue
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
e t = α 1 t + α 0
11
sen(t)
′ ′
1 x = = x 1 x 1 − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
α 1 = e x t 22 − 2x 2 +3x 3 22
3 3− α 0
t

t
1 1 e − e −t senh(t)
t
t
α 1 = e − e + e −t = = (4.27)
t 2 2t t
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 93