Page 94 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales
P. 94
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Finalmente, sustituyendo α 0 y α 1 se encuentra la matriz exponencial:
4.2.2.
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
can´ onica
can´ onica α 1 t + α 0 2α 1 t cosh(t) senh(t)
e At = = (4.28)
4α 1 t 3α 1 t + α 0 senh(t) cosh(t)
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible.
posible.
Ejemplo 4.16
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
31 0
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
Hallar e At para A = 03 1
00 3 2 2 2 2 t t
(4.7)
(D − D + 5)x +2D y =
(D − D + 5)x +2D y = e e (4.7)
2 2
Soluci´ on: Con n =3, la matriz exponencial buscada es de la forma e At = α 2 A t + α 1 At + α 0 I
2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
31 0 31 0 96 1 9α 2 t 2 6α 2 t 2 α 2 t 2
a la forma normal. 2 2 0 9α 2 t 2 6α 2 t
a la forma normal.
2 2
2
α 2 A t
= α 2 03 1 03 1 t = α 2 09 6 t =
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema 00 3 00 9 0 0 9α 2 t 2
00 3
3α 1 t
31 0 D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
0
α 1 t
2 2
t t
(4.9)
2 2
D x +2D y = e − 5x + Dx
0 2 2 3α 1 t
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
α 1 At = α 1 03 1 t = α 1 2 2 t
D y =3t +2x −
00 3 0 0 3α 1 t
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
10 0 α 0 0 0
α 0 I = α 0 01 0 = 0 α 0 0
00 1
0
0
2 2
2 2
2 2
2 2
t t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
α 0
2 2
t t
2 2
(4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
2 2
e At = α 2 A t + α 1 At + α 0 I (4.29)
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
2
2
2
α 2 t
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como: 0
3α 1 t
6α 2 t
9α 2 t
0
0
α 1 t
α 0
2 2 (4.30)
= 0 9α 2 t 6α 2 t + 2 2 0 3α 1 t α 1 t + 0 α 0 0
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
0 0 9α 2 t 2 0 0 3α 1 t 0 0 α 0
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
2 2 2
9α 2 t +3α 1 + α 0 6α 2 t + α 1 t α 2 t
2
2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal + 6α 2 t + α 1 t (4.31)
0
9α 2 t +3α 1
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normalα 0
=
2
0 0 9α 2 t +3α 1 + α 0
Dx = u u
Dx =
Se procede a encontrar los valores eigen de At
Dy = v v
Dy =
det(At − λI)= 0 Du = e − 6t − 9x +4y + u u
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
3t − λ t 2 2 0
Dv =3t +2x −
Dv =3t +2x − 2 2
det(At − λI)= 0 3t − λ t = (3t − λ)(3t − λ)(3t − λ) =0
0 0 3t − λ
4.2.3.
4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
Sistemas degenerados o degradados λ 3 =3t con multiplicidad k =3. Debido a la
De donde se obtienen los valores eigen λ 1 = λ 2 =
multiplicad de los valores eigen, el sistema de ecuaciones se construye de acuerdo al Corolario 4.2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
la forma normal son degenerados o degradados , dr(λ)
dr(λ)
2
r(λ)= α 2 λ + α 1 λ + α 0 ,
la forma normal son degenerados o degradados =2α 2 λ + α 1 |
dλ λ=λ 2 dλ 2 =2α 2 | λ=λ 3
94 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
