Page 92 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

El polinomio r(λ) queda definido como
4.2.2.
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
can´ onica
can´ onica r(λ)= α 1 λ + α 0
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Se procede a encontrar los valores eigen de At
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
det(At − λI)= 0
posible.
posible.
t − λ 2t 2

Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2 =(t − λ)(3t − λ) − 8t
det(At − λI)=
4t 3t − λ
2
2
2
2
2
Reducir el siguiente sistema: =3t − 4λt + λ − 8t = λ − 4λt − 5t =(λ + t)(λ − 5t)=0
Reducir el siguiente sistema:
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
(D − D + 5)x +2D y = e e
De donde se obtienen los valores eigen λ 1 = −t y λ 2 =5t. Se construye ahora el sistema de ecuaciones
(4.8)
2 2
2 2
(4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
−2x +(D + 2)y =3t
e = r(λ i ) con i =1, 2.
λ i
a la forma normal.
a la forma normal.
e
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema −t = α 1 (−t)+ α 0 = −α 1 t + α 0 (4.19)
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
5t
e = α 1 (5t)+ α 0 =5α 1 t + α 0 (4.20)
t t
(4.9)
2 2
2 2
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2 2
(4.10)
2 2
D y =3t +2x − 2y 2y
Multiplicando la ecuaci´ on (4.19) por -1 y sumando a (4.20), se obtiene el valor de α 1 (4.10)
D y =3t +2x −
(α 1 t − α 0 )+(5α 1 t + α 0 )= −e
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) −t + e 5t
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
6α 1 t = −e −t + e 5t
1 5t −t
t t 1 = e − e 2 2 (4.21)
α
2 2
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
6t
Sustituyendo el valor encontrado en (4.21) t t 2 2 (4.11)
2 2 en la ecuaci´ on (4.19) se encuentra el valor de α 0 como sigue
(4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
−t
e
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
= −α 1 t + α 0
α 0 = e −t + α 1 t
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + 1 1
Du = e − 6t − 9x +4y + u u

5t
5t
α 0 = e −t + 1 e − e −t t = e −t + e − e −t
6t
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y 6 6
Dv =3t +2x −
1 5t −t
α 0 = e +5e (4.22)
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
6
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Sustituyendo α 0 y α 1 en (4.18) (se realiza elemento por elemento):
Dx = u u
Dx =
1 5t −t 1 5t −t 1 5t −t 5t −t
α 1 t + α 0 = e − e Dy = v v e +5e = e − e + e +5e
t +
Dy =
6t 6 6
t t
2 2

Du = e − 6t − 9x +4y +
1 5t Du = e − 6t − 9x +4y + u u
−t
= 2e +4e
6
Dv =3t +2x − 2 2
2 2
Dv =3t +2x −
1 5t −t 1 5t −t
2α 1 t =2 e − e t = 2e − 2e
6t 6

1 5t −t 1 5t −t
4α 1 t =4 e − e t = 4e − 4e
6t 6
4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados

5t
5t
5t
5t
3α 1 t + α 0 =3 1 e − e −t t + 1 e +5e −t = 1 3e − 3e −t + e +5e −t
6
6
6t
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal

1
−t
5t
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
=
4e +2e
6
92 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May