Page 91 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales
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Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ejemplo 4.13
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn
Cuando A tiene 2 filas y 2 columnas, entonces At a n−1 (n−1) + α 0 I.
d y d y
= α 1 At
a 1 a 1 n =2 y e
a 0 a 0
a n−1 (n−1)
(4.4)
+ f
=
y
y − . ..
′ ′
= − − y − − y − . .. − − yy + f(t) (t) (4.4)
nn
dt dt
Cuando A tiene 3 filas y 3 columnas, entonces At = 2 2
a n a n α 2 A t + α 1 At + α 0 I.
a n a n n =3 y e
a n a n
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
′ ′ + α n−2 λ
t
Teorema 4.2 Defina r(λ)= α n−1 λ n−1 n−1 n−2 + · ·· + α 2 λ 2
(n−1)
(4.5)
(n−1)+ α 1 λ + α 0 , de tal forma que si λ i
=
y =
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy = x n x n (4.5)
y =
.
es un valor eigen de At, se pueda suponer que
se observa
se observa que que
e = r(λ i )
λ i
(n−1)
(n−1)
(n) (n)
′ ′
.
y = x = x 3 , x 3 ,
. .., ..,
′ ′
= xx
yy
′ ′
y = x =
′′ ′′
=
′ ′
y = x =
= xx
=
′ ′
y = x = x 2 , x 2 ,
=
= x n , x n ,
yy
Corolario 4.2 Si λ i es un valor de multiplicidad k, k> 1, entonces las siguientes ecuaciones son validas
n−1
n−1
2 2
nn
1 1
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): d
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
e λ i = (λ)
′ ′ dλ
xx = λ=λ i
1 1 = x 2 x 2
′ ′ d 2
2 2 (λ)
e λ i = xx = x 3 x 3
=
dλ 2 . . λ=λ i
. .
. . . .
.
xx n−1 = x n x n
=
′ ′
n−1
d k−1
y en consecuencia
y en consecuencia e λ i = dλ k−1 (λ)
λ=λ i
a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1
a n−1
(4.6)
x = x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
x n + f
′ ′
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − −
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
4.3.4. M´ etodo de c´ alculo de la matriz exponencial e At
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Para cada valor eigen λ i de At, aplicar el teorema anterior para hallar r(λ) y obtener un conjunto
Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1
de ecuaciones lineales. Cuando se ha efectuado lo anterior, para cada valor eigen, se deber´ a tenerse el
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
conjunto de todas las ecuaciones obtenidas resueltas para α 0 ,α 1 ,. .., α n−1 . Esos valores se sustituyen en
′′ ′′ n−2 n−2
t
+ · ·· +
2y − 6y +4y − y = sen(t) α 2 A t + α 1 At + α 0 I
+ α n−2 A
t
e At = α n−1 A n−1 n−1 2y − 6y +4y − y = sen(t) 2 2
′′ ′′
′ ′
Ejemplo 4.14
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on
12
Hallar e At para A =
43 y = = yy − 2y +3y + + 11 sen(t)
− 2y +3y
sen(t)
y
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
Soluci´ on: Como n =2 22 22
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
′ ′
′′ ′′
α 1 t
t
2t
2α 1 t
0
e At = α 1 At + α 0 I, At = ,α 1 At = ,α 0 I = α 0 .
4t 3t 4α 1 t 3α 1 t 0 α 0
y = x =
y =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
′ ′
′ ′
′′ ′′
′′′′′′
′ ′
′ ′
1 1
3 3
2 2
At
e
= α 1 At + α 0 I
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
α 1 t 2α 1 t α 0 0
= + 11
x 1 x 1
x
x = = 4α 1 t 3α 1 t sen(t) α 0
0
− 2x 2 +3x 3 + +
sen(t)
′ ′
− 2x 2 +3x 3
3 3
22 22
2α 1 t
α 1 t + α 0
= (4.18)
4α 1 t 3α 1 t + α 0
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 91
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
