Page 100 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

A partir de donde se puede identificar
4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
4.2.2.

can´ onica X(t)= ˙ x 1 A(t)= 0 1 F(t)= 0 (4.53)
can´ onica ˙
˙ x 2 8 −2 e t
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Se procede a calcular la soluci´ on de la forma (4.46). Primero se calcula la matriz exponencial con n =2
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
entonces e At = α 1 At + α 0 I
posible.
posible.
0 α 1 t α 0 0
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2 α 1 At = 8α 1 t −2α 1 t ,α 0 I = 0 α 0

Reducir el siguiente sistema: At α 0 α 1 t
Reducir el siguiente sistema:
e =
8α 1 tα 0 − 2α 1 t
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
(D − D + 5)x +2D y = e e
Los valores eigen de At se calculan como sigue
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t

−λ t = −λ(−2t − λ) − 8t =2tλ + λ − 8t 2

2
2

det(At − λI)=
a la forma normal. 8t −2t − λ
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
=(λ
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema− 2t)(λ +4t)=0
De donde se tienen los valores eigen 2 2λ 1 =2t 2 2y λ 2 = −4t. A partir de estos valores se construyen los
(4.9)
t t
(4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx
polinomios r(λ i )= α 1 λ i + α 0 2 2 2 2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
e 2t =2tα 1 + α 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
e −4t = −4tα 1 + α 0
Restando ambas ecuaciones se puede encontrar r´ apidamente α 1
2 2
2 2
2 2
t t
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
2t
(2tα 1 + α 0 ) − (−4tα 1 + α 0 )= e − e −4t
(4.11)
t t
2 2
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
2t
6tα 1 = e − e −4t
1
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
2t
−4t
α 1 =
(e − e
)
6t
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
Se utiliza este valor para hallar α 0 Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
2t
Dv =3t +2x − 2y 2y
e
Dv =3t +2x −
=2tα 1 + α 0
e − e −4t
2t
2t
α 0 = e − 2t
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
6t
e 2t e −4t
Dx = u u 2t +
Dx =
α 0 = e −
3 3
Dy =
Dy = v v 1
2t
α 0 = (2e + e −4t )
t t 3
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
Los elementos de la matriz exponencial son ahora:
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
1 1
2t
2t
α 1 t = (e − e −4t )t = (e − e −4t )
6t 6

1 4
2t
2t
8α 1 t =8 (e − e −4t ) t = (e − e −4t )
6t 3
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados 1
4.2.3.

1
1
2t
2t
2t
2t
α 0 − 2α 1 t = (2e + e −4t ) − 2 (e − e −4t ) t = (2e + e −4t − e + e −4t )
3
3
6t
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
1
−4t
2t
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
)
(e +2e
=
3
100 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May