Page 89 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ahora se calcula el determinante
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
 
d y d y 5t
 2t − λ nn a 0 a 0   a 1 a 1 a n−1 (n−1)2 2 2 2

a n−1 (n−1)
(4.4)
(4.4)
+ f(t) (t)
=
yy
+ f
y − . ..
′ ′
y − . .. − −
= − − y − − = (2t − λ)(−2t − λ)+5t = −4t − 2tλ +2tλ + λ +5t
det(At − λI)=  nn y 
−t
a n a n
 dt dt−2t − λ  a n a n a n a n
2
2
= λ + t =(λ − ti)(λ + ti) =0
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
′ ′ = ti y λ 2 = −ti.
(n−1)
(4.5)
De donde se obtienen los valores eigen λ 1 (n−1)
=
y =
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy = x n x n (4.5)
.
y =
se observa
se observa que que
Ejemplo 4.11
 
(n) (n)
(n−1)
′ ′
y = x =4
′ ′
=
. 0
′′ ′′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , 1 . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
′ ′
=
′ ′
=
′ ′
y = x =
n−1
1 1
nn
2 2


Hallar los valores eigen de A si A =  −12 0 
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): 2 1 −3
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
Soluci´ on: Primero se encuentra la matriz A − λI: = x 2 x 2
xx
=
′ ′
1 1
xx
′ ′
   2 2 = x 3 x 3  
= 
4 1 0 10 0 4 − λ 1 0
. .
. .
. .





A − λI =  −12 0  − λ  01 0  =  −1 2 − λ 0 

=
xx = x n x n
′ ′
n−1
2 1 −3 n−1 2 1 −3 − λ
00 1
y en consecuencia
y en consecuencia
Ahora se calcula el determinante a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1
a n−1
(4.6)
x n + f
x = x 2 − . .. x n + f(t) (t) (4.6)
′ ′
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − −
x 1
nn
 a n a n  a n a n
 4 − λ 1 0 a n a n 


esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.


det(A − λI)=  −1 2 − λ 0  = [(4 − λ)(2 − λ)(−3 − λ)] − [(−1)(1)(−3 − λ)]
 
Ejemplo 4.1 4.1  2 1 −3 − λ 
Ejemplo
= (4 − λ)(λ − 2)(3 + λ) − (3 + λ)=(3 + λ)[(4 − λ)(λ − 2) − 1]
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
2
= (3 + λ)(4λ +2λ − λ − 8 − 1)
2 2 2
2y − 6y +4y − y = sen(t) 6λ + 9) = −(3 + λ)(λ − 3)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
= (3 + λ)(−λ +6λ − 9) = −(3 + λ)(λ −
= (3 + λ)(λ − 3)(λ − 3) = 0
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
De donde se obtienen los valores eigen
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on λ 1 = −3 y λ 2 = λ 3 =3.N´ otese que λ =3 es un valor eigen de
multiplicidad k =2. yy 11
sen(t)
− 2y +3y
y
y = = − 2y +3y + + sen(t)
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
22 22
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
Teorema 4.1 Teorema de Cayley-Hamilton
′′ ′′
′ ′
Cualquier matriz cuadrada satisface su propia ecuaci´ on caracter´ ıstica. Es decir si
y = x =
y =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
y = x =
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′′ ′′
′′′′′′
3 3
2 2
1 1
2
n
det(A − λI)= b n λ + b n−1 λ n−1 + · ·· + b 2 λ + b 1 λ + b 0
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
entonces
x 1 x 1 11
sen(t)
sen(t)
n
2
′ ′
b n A + x = = A n−1 − 2x 2 +3x 3 + + + b 1 A + b 0 I =0
− 2x 2 +3x 3 A
3 3
x b n−1
+ · ·· + b 2
22 22
Ejemplo 4.12
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 89