Page 88 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

c) Al evaluar nuevamente de t 0 =0 a t =2 se tiene
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
4.2.2.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
can´ onica  2  e   2 sen(πs)  2   1 (e − 1) 0 
can´ onica
4s
8
A(s)ds =  4  0 π  0  = 4
6
4
2 2
2
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
3
0
s |
(s − s)|
0
0
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible.
posible.
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
4.3.2. Ecuaci´ on caracter´ ıstica de una matriz cuadrada A
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
Definici´ on 4.5 La ecuaci´ on caracteristica de una matriz cuadrada A es la ecuaci´ on polinomial en λ
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = e e
(D − D + 5)x +2D y = t t (4.7)
2 2λI)=0
(4.8)
det(A −
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
donde I es la matriz identidad, y det() significa determinante de (). Aquellos valores de λ que satisfacen
a la forma normal.
a la forma normal.
la ecuaci´ on anterior, se llaman valores eigen de A, llamando un valor eigen de multiplicidad k a una
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema 3
raiz que se repite k veces.
2 2
2 2
t t
(4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2 2
(4.10)
2 2
Ejemplo 4.9 D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) 

13
Hallar los valores eigen de A si A =
42
Soluci´ on: Primero se encuentra la matriz A − λI: t t 2 2
2 2
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
         
13 10 t t 13 2 2 λ 0 1 − λ 3 (4.11)
(4.11)
2 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
A − λI = − λ = − =
42 01 42 0 λ 4 2 − λ
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Ahora se calcula el determinante
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
 
 1 − λ 3   2 2 2

Dv =3t +2x − − λ)(2
 = (1
det(A − λI)=  Dv =3t +2x − 2y 2y − λ) − 12 = 2 − 3λ + λ − 12
4
 2 − λ 
2
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
= λ − 3λ − 10 = (λ − 5)(λ
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal + 2)=0
Dx = u u y λ 2 = −2.
Dx ==5
De donde se obtienen los valores eigen λ 1
Dy = v v
Dy =
t t
Ejemplo 4.10 Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y +
2 2
Dv =3t +2x − 2 2

Dv =3t +2x −

2 5
Hallar los valores eigen de At si A =
−1 −2
Soluci´ on: Primero se encuentra la matriz At − λI:
4.2.3.
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados   λ 0   2t − λ 5t 





10
2
Sistemas degenerados o degradados 5t
2t
5
At − λI = t − λ = − =
−t
−2t − λ
0 λ
01
−1 −2
−t −2t
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
3
Tambi´ en se llaman valores caracter´ ısticos
88 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May