Page 87 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
4.3. M´ etodo de la matriz exponencial e At
nn
d y d y a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1 (n−1)
(4.4)
a n−1 (n−1)
(4.4)
′ ′
+ f
+ f(t) (t)
Enseguida se presentan algunos preliminares matem´ aticos necesarios para aplicar este m´ etodo de
y − . ..
=
yy
y
= − −
y − −
y − . .. − −
nn
dt dt a n a n a n a n a n a n
manera eficiente.
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
4.3.1. Matrices de funciones, derivaci´ on e integraci´ on
(n−1) de matrices
(4.5)
=
.
′ ′
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
y =
y =
Definici´ on 4.3 Derivada de una matriz de funciones
se observa que que
se observa
Si A(t)=(a ij (t)) m×n es una matriz cuyos elementos son funciones derivables en un intervalo com´ un,
entonces
(n−1)
(n) (n)
(n−1)

′ ′
′ ′
.
′ ′
′ ′
=
=
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , . .., .., d yy  = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
y = x =
y = x =
=
′′ ′′
2 2 dA
n−1
˙
1 1
nn
= A(t)= a ij
dt dt m×n
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
Definici´ on 4.4 Integral de una matriz de funciones
=
xx = x 2 x 2
′ ′
1 1
Si A(t) =(a ij (t)) m×n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo com´ un que
xx = x 3 x 3
=
′ ′
contiene t y t 0 , entonces 2 2 . .
t . .
  . . t 
A(s)ds = a ij (s)ds
xx = x n x n
=
′ ′
n−1 t 0
t 0 n−1 m×n
y en consecuencia
y en consecuencia
Nota 4.1
Para derivar (integrar) una matriz ′ ′ de funciones, simplemente derivamos (integramos) cada elemento. (4.6)
a 0 a 0
a 1 a 1
a n−1
a n−1
x =
x 2 − . ..
x n + f
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − − x n + f(t) (t) (4.6)
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
Ejemplo 4.8
Ejemplo 4.1 4.1 
Ejemplo 
e 4t cos(πt)  t  2
Sea A(t)= , hallar a) dA , b) A(s)ds, c) A(t)dt.
dt
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden 0 0
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
2
2t 3t − 1
Soluci´ on:
2y − 6y +4y − y = sen(t)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
a) Se realiza la derivaci´ on de cada uno de los elementos de la matriz
a la forma normal. d  e 4t cos(πt)   dt (e ) dt (cos(πt))   4e 4t −π sen(πt) 
a la forma normal.
d
d
4t
dA(t)
=
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
dt
dt
2
2
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on − 1 = d (2t) d (3t − 1) = 2 6t
2t 3t
dt dt
11
yy
y uno
b) Se realiza la integraci´ on de cada y = = de los elementos de la matriz
sen(t)
− 2y +3y
− 2y +3y + +
sen(t)
′ ′
′′ ′′
′′ ′′
22 22
 
 
t t e 4s cos(πs)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
A(s)ds =
ds
′ ′
′′ ′′
2
0 0 2s 3s − 1
 
 t  t
′ ′ 4s
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , cos(πs)ds ′ ′
e
y =
y = x = ds
y = xx
′ ′
′ ′
′′ ′′
′′′′′′
2 2
3 3
1 1
=  0 t  t 0 2
0 2sds 0 (3s − 1)ds
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica


t

t

4s
e  sen(πs)
=  4  0 π  0 
x 1 x 1 2 t 11 t
3
sen(t)
x = = − 2x 2 +3x 3 + + (s − s)| 0
x
sen(t)
′ ′
s |
0
− 2x 2 +3x 3
3 3
22 22
 
4t
1 (e − 1) 1 sen(πt)
= 4 π
3
t 2 t − t
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 87
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May