Page 86 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

4.2.2.
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
Los t´ erminos que no contienen a las variables x y y se agrupan para formar el vector F(t)
can´ onica
can´ onica e − 2t
t
F(t)=
10t
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
La forma matricial del sistema queda de la siguiente forma
posible.
posible.
t
Ejemplo 4.2 dX = −25 x 1 + e − 2t
Ejemplo 4.2
dt 4 3 x 2 10t
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
A(t) X F(t)
2 2
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y = e e t t (4.7)
(D − D + 5)x +2D y =
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
Ejemplo 4.6
a la forma normal.
a la forma normal.
Escribir en forma matricial el sistema homog´ eneo:
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
dx
t t
2 2
(4.9)
2 2
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
=2x − 3y
dt
2 2
2 2
(4.10)
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
dy
D y =3t +2x −
=6x +5y
dt
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Soluci´ on: Haciendo x 1 = x y x 2 = y, el vector X se define como

x
2 2
2 2
t t
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
x 1
X = =
y
(4.11)
2 2
t t
2 2 x 2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
y la forma matricial queda como
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

dX 2 −3
= X
t t
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
dt
5
6
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 4.7
Dx =
Dx = u u
Escriba el sistema dado en forma de sistema de ecuaciones
Dy = v v
Dy =

4 t t 2 2 2 1
˙
Du = e − 6t − 9x +4y +
X = X + t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u e
−13 −1
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
T T

˙
Soluci´ on: Sea X = xy y X = ˙ x y ˙ . Desarrollando las operaciones matriciales se tiene
˙ x =4x +2y + e
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados t
˙ y = −x +3y − e t
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
86 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May