Page 85 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
4.2.4. Representaci´ on matricial de los sistemas de ecuaciones diferenciales linea-
les de primer orden a 0 a 0 a 1 a 1
nn
d y d y
(4.4)
a n−1 (n−1)
yy
′ ′
=
y
y − . ..
+ f
= − − y − − y − . .. − − a n−1 (n−1) + f(t) (t) (4.4)
nn
dt dt a n a n a n a n a n a n
Sean las matrices A(t), X y F(t) definidas por:
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
     
a 11 (t) a 12 (t) · ·· a 1n (t) x 1 (t) f 1 (t)
 ′ ′   (n−1)   
(4.5)
(n−1)
y = (t)
.
yy
y =
 a 21 (t) a 22 y = x 2 , x 2 , . .., ..,  x 2 (t)  =  f 2 (t)  (4.5)
y = x 1 , x 1 ,· ·· a 2n (t) 
= x n x n
A(t)=  . . . .  ,X =  .  ,F(t)=  . 
 . . . . . . . .   . .   . . 
     
se observa que que
se observa
a n1 (t) a n2 (t) · ·· a nn (t) x n (t) f n (t)
(n−1)
(n) (n)
de tal modo que el y = x = x 3 , x 3 , . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
y = x = x 2 , x 2 , de ecuaciones lineales de primer orden:
y = x = sistema
=
=
′ ′
.
′ ′
′ ′
y = x =
=
′′ ′′
′ ′
′ ′
n−1
1 1
nn
2 2
dx 1
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):(t)x 1 + a 12 (t)x 2 + · ·· + a 1n (t)x n + f 1 (t)
= a 11
dt
xx =
′ ′
dx 2 1 1 = x 2 x 2
= a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x 2 + · ·· + a 2n (t)x n + f 2 (t)
=
dt xx = x 3 x 3
′ ′
2 2
. . . . .
. .
. .
dx n
=
′ ′
= a n1 (t)x 1 + xx a n2 (t)x 2 + · ·· + a nn (t)x n + f n (t)
= x n x n
n−1
n−1
dt
y en consecuencia
y en consecuencia
puede escribirse como:
a n−1
(4.6)
x 2 − . ..
x = a 0 a 0 x 1 − − a 1 a 1 x 2 − . .. − − a n−1 x n + f(t) (t) (4.6)
x n + f
′ ′
 x = − − x 1     
nn
x 1 (t) a n a n a 11 (t) · ·· a n a n (t) x 1 (t) f 1 (t)
a n a n a 12 (t)
a 1n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
a 22 (t)
a 21 (t)
x 2 (t)
dX



esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal. · ·· a 2n (t)   x 2 (t)   f 2 (t) 
˙
d 
= X = .   . . . .   .   . 
dt  . .  =  . . . . . . . .   . .  +  . . 
Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1 dt        
x n (t) a n1 (t) a n2 (t) · ·· a nn (t) x n (t) f n (t)
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
o simplemente
dX
= A(t)X + F(t) (4.16)
2y − 6y +4y − y = sen(t)
dt
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′ ′
′′ ′′
′′ ′′
Si el sistema es homog´ eneo (F(t) =0), la ecuaci´ on (4.16) queda como:
a la forma normal.
a la forma normal.
dX
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on = A(t)X (4.17)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
dt
yy 11
sen(t)
y
− 2y +3y
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
Ejemplo 4.5 y = = 22 − 2y +3y + + 22 sen(t)
Escribir en forma matricial el sistema no homog´ eneo:
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
′′ ′′
′ ′
dx
y = x =
y = x = x 3 , x 3 , − 2t
y =
y = x = x 2 , x 2 , = −2x +5y + t y = xx
y = x =e
′′ ′′
′ ′
′ ′
′′′′′′
′ ′
′ ′
3 3
1 1
2 2
dt
dy
=4x − 3y + 10t
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
dt
Soluci´ on: Haciendo x 1 = x y x 2 = y, el vector X se define como
11
x 1 x 1
sen(t)
x = = − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
x
′ ′
− 2x 2 +3x 3
3 3
22  22 
 
x x 1
X = =
y x 2
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 85
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May