Page 84 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ejemplo 4.3
4.2.2.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
can´ onica
can´ onica
El sistema de ecuaciones diferenciales
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
(D +1)+ (D + 1)y =0
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible.
posible. 2Dx + (2D + 1)y =0
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
es un sistema degenerado o degradado ya que no es posible resolver para cada derivada de mayor orden
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
Dx + Dy = −x − y (4.12)
2 2
(4.7)
(4.7)
2 2
(D − D + 5)x +2D y =
(D − D + 5)x +2D y = e e t t (4.13)
2Dx +2Dy = −y
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
multiplicando por (-2) la ecuaci´ on (4.12) y sumandola a (4.13) se tiene
a la forma normal.
a la forma normal.
(−2Dx
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema − 2Dy)+(2Dx +2Dy) = (2x +2y) − y
0= 2x + y
t t
2 2
2 2
(4.9)
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
(4.10)
2 2
2 2
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
Ejemplo 4.4
Reducir a la forma normal el sistema
2 2
2 2
t t
2 2
2 2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D 2 2 − 1)x − Dy = t 2
(4.11)
2 2
t t
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
x + Dy =5t − 2
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema de ecuaciones
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y +
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y (4.14)
Dv =3t +2x −
Dy = −x +5t − 2
Dx − Dy = x + t
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal 2 (4.15)
De donde es posible obtener Dx, sumando
Dx = u u
Dx = (4.14) y (4.15)
Dy = v v
Dy =
2
Dy +(Dx − Dy)= (−x +5t − 2)+(x + t )
2 2
t t
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2
Dx = t +5t +2
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
Con lo que se reducir´ ıa a la forma normal
2
Dx =˙x = t +5t +2
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3.
Dy =˙y = −x +5t − 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
84 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May