Page 83 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
can´ onica d y d y a 0 a 0 a 1 a 1
nn
(4.4)
a n−1 (n−1)
+ f
y − . ..
yy
′ ′
=
y
= − − y − − y − . .. − − a n−1 (n−1) + f(t) (t) (4.4)
nn
dt dt a n a n a n a n a n a n
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor
posible.
(4.5)
(n−1)
′ ′
y =
=
.
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
y =
Ejemplo 4.2
se observa que que
se observa
Reducir el siguiente sistema:
(n) (n)
(n−1)
′ ′
= xx
2
′′ ′′
y = x =
′ ′ 2
yy
(n−1) t
=
=
. .., ..,
.
′ ′
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , D + 5)x +2D y = e = ′ ′ n−1 = x n , x n , yy = xx (4.7)
y = x =
′ ′
(D
n−1
2 2 −
1 1
nn
2
−2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
a la forma normal. xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema xx =
′ ′
2 2 = x 3 x 3
. .
. .
2
2
. . t
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
=
xx n−1 = x n x n
′ ′
n−1
2
2
D y =3t +2x − 2y (4.10)
y en consecuencia
y en consecuencia
Multiplicando (4.10) por (-2) y ′ ′ se suma a (4.9) a 1 a 1 a n−1
a n−1
a 0 a 0
(4.6)
x 2 − . ..
x n + f
x =
x = − − x 1 − − x 2 − . .. − − x n + f(t) (t) (4.6)
x 1
nn
a n a n a n a n a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
2
t
2
2
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1
2
t
2
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
t
2y − 6y +4y − y = sen(t)
2
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
2y − 6y +4y − y = sen(t) u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2
Dv =3t +2x − 2y
a la forma normal.
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on onen la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda
′′ ′′ = u
Dx yy − 2y +3y + + 11 sen(t)
− 2y +3y
y = =
sen(t)
y
′ ′
′′ ′′
22 22
Dy = v
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
′′ ′′
′ ′
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
2
′ ′ Dv =3t +2x − 2
y = x =
y = x =
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
y =
′ ′
′′ ′′
′ ′
′′′′′′
′ ′
1 1
2 2
3 3
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
4.2.3. Sistemas degenerados ′ ′o degradados 11
x 1 x 1
sen(t)
x
x = = − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
− 2x 2 +3x 3
3 3
22 22
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
la forma normal son degenerados o degradados
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 83
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May