Page 82 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal
4.2.2.
4.2.2. Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o o
can´ onica d y
can´ onica
n
a 1
a 0
′ a n−1 (n−1) (4.4)
= − y − y − . .. − y + f(t)
dt n a n a n a n
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el el
y se hacen los cambios de variables
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
posible.
posible.
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′
Ejemplo 4.2
Ejemplo 4.2
se observa que
Reducir el siguiente sistema:
Reducir el siguiente sistema:
′′
′
′
(4.7)
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., 2 2 y (n−1) = x ′ n−1 = x n , y (n) = x ′ n (4.7)
′
t t
2 2
(D − D + 5)x +2D y =
(D − D + 5)x +2D y = e e
2
1
(4.8)
2 2
−2x +(D + 2)y =3t 2 2 (4.8)
−2x +(D + 2)y =3t
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
a la forma normal. x ′ 1 = x 2
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema x ′ 2 = x 3
. .
.
2 2
2 2
(4.9)
t t
D x +2D y = e − 5x + Dx
D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
x ′ n−1 = x n
2 2
(4.10)
2 2
D y =3t +2x − 2y 2y (4.10)
D y =3t +2x −
y en consecuencia
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) a n−1
a 0
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9) a 1
′
x = − x 1 − x 2 − . .. − x n + f(t) (4.6)
n
a n a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
2 2
2 2
2 2
2 2
t t
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
Ejemplo 4.1 2 2 t t 2 2
(4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx (4.11)
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:
′′
′′
t t
′
2 2
2y − 6y +4y − y = sen(t)
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2 2
Dv =3t +2x − 2y 2y
Dv =3t +2x −
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
y
Dx =
Dx = u u ′ ′′ 1 sen(t)
y =
− 2y +3y +
′′
2 2
Dy =
Dy = v v
y sean los siguientes cambios de variable y = t t x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′′
′
2 2
Du = e − 6t − 9x +4y + u u
Du = e − 6t − 9x +4y +
2 2
Dv =3t +2x − 2 2
Dv =3t +2x −
y = x = x 2 , y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
′
′
′′′
′′
2
1
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
4.2.3.
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. Sistemas degenerados o degradados 1
x 1
′
x = − 2x 2 +3x 3 + sen(t)
3
2 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en en
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal
la forma normal son degenerados o degradados
la forma normal son degenerados o degradados
82 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May