Page 81 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
4.1. Introducci´ on
nn
d y d y a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1 (n−1)
a n−1 (n−1)
(4.4)
(4.4)
Una ecuaci´ on diferencial lineal de coeficientes constantes y de orden n, puede reducirse a un sistema
yy
=
y
y − . ..
′ ′
+ f(t) (t)
+ f
= − −
y − −
y − . .. − −
nn
dt dt a n a n a n a n a n a n
de n ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos cambios de variable, hasta ser llevados
y se hacen los cambios de variables
y se hacen los cambios de variables
a una forma can´ onica expresada en notaci´ on matricial. La soluci´ on de este tipo de sistemas constituye el
objeto de estudio en este apartado. Se utilizan algunos preliminares matem´ aticos que permiten resolver
(n−1)
(4.5)
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
y =
′ ′
y =
=
.
este tipo de sistemas mediante el c´ alculo de la matriz exponencial con base en el Teorema de Cayley-
Hamilton, la determinaci´ on de eigenvalores y la ecuaci´ on caracter´ ıstica. Tambi´ en, se resuelven ejemplos
se observa que que
se observa
que consideran sistemas homog´ eneos y no homog´ eneos.
Los apuntes mostrados y = x = x 3 , x 3 , . .., .., yy (n−1) = xx n−1 = x n , x n , yy = xx
y = x = x 2 , x 2 , aqui fueron tomados de [1]
(n) (n)
(n−1)
′ ′
y = x =
′ ′
=
′ ′
.
′′ ′′
=
′ ′
y = x =
′ ′
=
n−1
2 2
1 1
nn
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
4.2. Representaci´ on matricial de un sistema de ecuaciones diferen-
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
ciales lineales de primer orden,
= x 3 x 3 forma can´ onica
=
xx
′ ′
2 2
. .
. .
. .
Definici´ on 4.1 Toda ecuaci´ on diferencial de orden n
xx n−1 = x n x n
=
′ ′
n−1
y en consecuencia y (n) = F(t, y, y ,. .., y (n−1) ) (4.1)
y en consecuencia
′
a n−1
a 0 a 0 a 1 a 1 a n−1 (4.6)
x 2 − . ..
x =
x n + f(t) (t)
x n + f
′ ′
x 1 − −
x 2 − . .. − −
x = − −
y as´ ı mismo, la mayor´ ıa de los sistemas de ecuaciones diferenciales pueden ser reducidos a la forma (4.6)
x 1
nn
a n a n
a n a n
a n a n
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
= g 1 (t, x 1 ,x 2 ,. .., x n )
dx 1
dt
Ejemplo
Ejemplo 4.1 4.1 dx 2 = g 2 (t, x 1 ,x 2 ,. .., x n )
dt
. . . (4.2)
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
dx n = g n (t, x 1 ,x 2 ,. .., x n )
dt
Definici´ on 4.2 Un caso particular de (4.2) son aquellos sistemas
2y − 6y +4y − y = sen(t)que tienen la forma lineal normal o
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′ ′
′′ ′′
′′ ′′
can´ onica
a la forma normal. dx 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x 2 + . .. + a 1n (t)x n + f 1 (t)
a la forma normal.
dt
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
dx 2
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on (t)x 1 + a 22 (t)x 2 + . .. + a 2n (t)x n + f 2 (t)
= a 21
dt (4.3)
. . .
y = = yy − 2y +3y + + 11 sen(t)
sen(t)
− 2y +3y
y
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
22
dx n 22 + a n2 (t)x 2 + . .. + a nn (t)x n + f n (t)
dt = a n1 (t)x 1
en donde los coeficientes a ij y f i son funciones continuas en ′′ ′′ un intervalo I para i, j =1, 2, 3,. .., n.
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
′ ′
Cuando f i (t)= 0, siendo i =1, 2, 3,. .., n, al sistema (4.3) se le llama homog´ eneo, de otra manera, se
le llama no homog´ eneo. y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
y = x =
y = x =
y =
′′′′′′
′′ ′′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
3 3
1 1
2 2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
4.2.1. Reducci´ on de una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n a un sistema de n
′ ′ de primer orden (forma normal o can´ onica)
ecuaciones diferenciales x 1 x 1 11
x
x = = − 2x 2 +3x 3 + + sen(t)
sen(t)
− 2x 2 +3x 3
3 3
22 22
Enseguida se muestra c´ omo una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n puede reducirse a un sistema
de n ecuaciones de primer orden. El procedimiento se presenta como sigue
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 81
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May