Page 74 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo 3.23.2
Ejemplo
donde
0 0
y 1 y 2 y 2 y 1 (3.32)
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
2 2

,W 2 =
W =
,W 1 =
y
y
′
′
Verificar que la funci´ on y = cx ′
′
2
1 y f(x) y 1 f(x)
2
El determinante W es el Wronskiano de y ′ ′ 1 y y 2 . Integrando las expresiones en (3.31), se obtienen las fun-
2
x
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
′ ′
2 ′′′′
ciones u 1 y u 2 con las cuales se construye la soluci´ on particular y p (x)= u 1 y 1 (x)+ u 2 y 2 (x). Finalmente,
en soluci´ on general se expresa entonces como la combinaci´ on
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c. lineal
la
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
′′ ′′
y(x)= y h (x)+ y p (x)
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
x 2 2 ′′′′ ′ ′
Ejemplo 3.11
2 2
2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
Resolver la ecuaci´ on diferencial 4y + 36y = csc(3x) 6= 6.6.
′′
6=
Soluci´ on: Dividiendo toda la ecuaci´ on entre 4 se tiene
Al 1
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
′′
y +9y = csc(3x)
4
y(0) = 4 = c(0) +9 = 0 son
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,m 1,2 = ±3i. Por lo tanto la soluci´ on de la ecuaci´ on
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
Las ra´ ıces de la ecuaci´ on auxiliar m 2 2 2 y ′ ′
diferencial homogenea es:
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
y h (x)= c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 cos(3x)+ c 2 sen(3x)
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
Utilizando la soluci´ on complementaria, con y 1 = cos(3x), y 2 = sen(3x) y f(x)= csc(3x) se encuentra
1
condiciones 4
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
que
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica

cos(3x)
2
2
2
2
y 1 y 2 sen(3x) = 3 cos (3x)+3 sen (3x) = 3(cos (3x)+sen (3x)) = 3
W = y ′ ′ =
3.3.
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
y
−3 sen(3x) 3 cos(3x)
1
2
coeficientes
coeficientes constantesconstantes

0 0 1 1 1 1
y 2 sen(3x)
= − csc(3x) sen(3x)= − sen(3x)= −
W 1 = = 1
′ 4 4 sen(3x) 4
f(x) y
La
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
csc(3x) 3 cos(3x)
2
4
en
nencial y = c 1 ee −axax en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
−
nencial y = c 1

e
cos(3x)
1
0
0
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como 1 1

y 1

W 2 = = 1 = cos(3x) csc(3x) = sen(3x)
y ′ f(x) −3 sen(3x) csc(3x) 4 4 cos(3x)
1 4
(
(
(3.2)
a n yy (n)n) + a n−1 ya n−1 y (n−1)n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
+
+
′′ ′′
′ ′
1
sen(3x)
a n
=
4 cos(3x)
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
construyen W 1 −1/4 1
′
u
=
=
= −
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independientes
1
3
W
12

independiente. 1 sen(3x)
independiente.
W 2 4 cos(3x) 1 cos(3x)
u ′ 2 = = =
sen(3x)
W
12
3
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
integrando para encontrar u 1 y u 2
1 1 1 cos(3x) 1 3 cos(3x) 1
(3.3)
u 1 = − dx = − x, u 2 = dx = dx = ln(sen(3x)) (3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0
12 12 c 1 12 sen(3x) 36 sen(3x) 36
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
74 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J.