Page 75 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

As´ ı, la soluci´ on particular es
Soluciones de la ED ED
Soluciones de la
1 1

y p (x)= − x cos(3x)+ ln(sen(3x)) sen(3x)

yy 12 36
y la soluci´ on general de la ecuaci´ on es
1 1
y(x)= c 1 cos(3x)+ c 2 sen(3x) − x cos(3x)+ ln(sen(3x)) sen(3x)
12 36

y h (x)
y p(x)
m =
m = yy
′ ′
00

Ejemplo 3.12

(x 0 ,y
(x 0 ,y 0 ) 0 )
Encuentre la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial dada y + y = tan(x)
′′

2
Soluci´ on: Apoy´ andose en la ecuaci´ on auxiliar am + bm + c =0 para encontrar las ra´ ıces de la soluci´ on
II xx
homog´ enea se tiene:
2
m + 1=0 −→ m 1,2 = ±i
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
siendo las ra´ ıces complejas y por lo tanto la soluci´ on homog´ enea es
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
y h (x)= c 1 cos(x)+ c 2 sen(x)
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
El siguiente paso es encontrar la soluci´ on particular y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 , la cual se construye con la
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
ayuda de y h
y 1 = cos(x), y = − sen(x)
′
Ejemplo 3.1 3.1 1
Ejemplo
y 2 = sen(x), y = cos(x)
′
2
Resolviendo por regla de Cramer 2x 2x + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee se tiene
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
Verificar que la funci´ on y(x) =3

cos(x)
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
= cos (x) + sen (x)=1
y 1 y 2 ′′′′ sen(x) ′ ′ 2 2
W = =
y ′ ′ − sen(3x) cos(3x)
2
1 y
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos

a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que

0
sen(x)
0

y 2 sen(x) sen(x)
W 1 = = = − tan(x) sen(x)= −
′ cos(x)
f(x) y
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.tan(x) cos(x)
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
2
2
1 − cos (x) d y d y 1 dy dy
2 2
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
+ cos(x)= − sec(x) + cos(x)
= − a 2 (x) (x) dx dx 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2 = −
dx dx
cos(x) cos(x)
↓↓ ↓↓ ↓↓

yy

−4
= 12x
0 cos(x) ′′′′ 0 −4yy = 12x sen(x)
y 1
W 2 = = = cos(x) tan(x)= − cos(x) = sen(x)
y ′ f(x) − sen(x) tan(x) cos(x)
1
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
Sustituyendo los resultados en u = W 1 /W y u = W 2 /W, y resolviendo para u 1 y u 2 , respectivamente,
′
′
2
1
se tiene y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
−2xx
2x 2x
−2xx
2x 2x
y(x) =3
y (x) =6
′ ′
−
−
−
00
00
00
00
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
′
= − sec(x) + cos(x)
u
1

y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y (0)= 1 =6 − 5=1
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
u 1 = (− sec(x))dx + cos(x)dx
= − ln(sec(x) + tan(x)) + sen(x)
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 75
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May