Page 78 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo
Ejemplo 3.23.2

2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y = cx
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x
′ ′
2 ′′′′
′ ′
ω 0

en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.

en

Paredes

′ ′
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que

Soluci´ on: Puesto que y
′′ ′′
x

2
′ ′
2 ′′′′
x

2 2 x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6

2 2
x
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
y
L
6=
6= 6.6.
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales doblemente empotrada en pared [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.3: Viga
Al
Soluci´ on: Se resuelve para hallar 2 2 y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1 la ecuaci´ on diferencial
y(0) = 4 = c(0)la soluci´ on complementaria y c (x) a partir de
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
y
′ ′
4
homog´ enea asociada EI d y 4 =0, siendo su ecuaci´ on auxiliar y ra´ ıces
dx
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
4
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
EIm =0 → m 1 = m 2 = m 3 = m 4 =0
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
Se tiene raices reales repetidas, por lo que su soluci´ on asociada es
´ unica
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
2
y c (x)= c 1 + c 2 x + c 3 x + c 4 x 3
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
Ahora
3.3. se halla la soluci´ on particular y p (x) por el m´ etodo de coeficientes indeterminados, analizando
primeramente las ra´ ıces en f(x)= ω 0 de la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea. Al ser f(x) constante,
coeficientes constantesconstantes
coeficientes
se observa que la ra´ ız asociada es m =0 y la soluci´ on particular asociada ser´ ıa y p (x)= Ae 0·x = A.
′
1
Sin embargo, esta ra´ ız m es igual a las ra´ ıces m 1,2,3,4 , por lo que se tiene una multiplicidad de 5 en estas
′
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
1
− on
raices. La soluci´ en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
−axaxparticular correcta es
en
nencial y = c 1 ee
nencial y = c 1
e y p (x)= Ax 4
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
2
3
Hallando las derivadas y (x)= 4Ax , y (x) = 12Ax , y (x) = 24Ax y y IV (x) = 24A y sustituyendo
′
′′
′′′
(3.2)
(
(n)n)
(3.2)
(n−1)n−1)
(
p
p
p
p
+ a n−1 ya n−1 y
+
a n yy
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
+
′ ′
′′ ′′
a n
en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
ω 0
construyen EI(24A)= ω 0 → A = 24EI
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independientes
y la soluci´ on particular es
independiente.
independiente. ω 0
y p (x)= x 4
24EI
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
mientras que la soluci´ on general queda expresada de la siguiente forma
linealmente
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
ω 0
4
2
3
x .
y(x)= c 1 + c 2 x + c 3 x + c 4 x +
(3.3)
(3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.36)
24EI
c 1
78 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May