Page 69 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

2. Observe que en los coeficientes indeterminados, no incluimos las letras C y D para no confundirlas
Soluciones de la ED ED
Soluciones de la
con las constantes arbitrarias de la soluci´ on complementaria y c (x) y con el operador de derivaci´ on,

respectivamente.

yy
El m´ etodo se ilustra enseguida con algunos ejemplos.
Ejemplo 3.7

Hallar la soluci´ on general de y +3y − 10y =6e 4x
′′
′
Soluci´ on: La ecuaci´ on auxiliar correspondiente es m = yy
m =
′ ′
00

2
m +3m − 10 = 0

(x 0 ,y 0 ) 0 )
(x 0 ,y
que puede reescribirse

(m + 5)(m − 2) = 0 −→ m 1 = −5,m 2 =2

II
xx
Por lo que la soluci´ on complementaria es
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
y c (x)= c 1 e −5x + c 2 e 2x
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
4x
Como g(x)=6e 4x se asocia una ra´ ız m =4. Entonces se tiene la soluci´ on provisional y p (x)= Ae .
′
1
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
Las derivadas de y p (x) son
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
y (x)=4Ae 4x y (x) = 16Ae 4x
′′
′
p
p
Sustituyendo
Ejemplo 3.1 3.1 y p (x) y sus derivadas en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea se encuentra el valor que
Ejemplo
corresponde al coeficiente indeterminado A como sigue
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y(x) =3
4x
4x
16Ae 4x + 3(4Ae ) − 10(Ae )= 6e 4x
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′′′′
′ ′
(16 + 12 − 10)Ae 4x =6e 4x
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
4x
4x
=6e
18Ae
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
1
6
A = =
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica. 18 3
Con el valor del coeficiente A se tiene d y d y que la soluci´ on complementaria es
2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2 (x) (x) 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx dx dx
↓↓ 1 ↓↓ ↓↓
y p (x)= e 4x
yy ′′′′ 3 −4yy = 12x
−4
= 12x
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
La soluci´ on general es entonces
−2xx
2x 2x
2x 2x
−2xx
−1
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
y(x) =3
y (x) =6
′ ′
−
−
y(x)= y c (x)+ y p (x)= c 1 e −5x + c 2 e 2x + e 4x
00 3
00
00
00
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
Ejemplo 3.8
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 69
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´