Page 79 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Ahora con la ayuda de las condiciones iniciales se encontrar´ an los valores de las constantes c 1 − c 4 .
Soluciones de la
Soluciones de la ED ED
Aplicando y(0) = 0

yy 2 3 ω 0 4
y p (0) = 0 = c 1 + c 2 (0) + c 3 (0) + c 4 (0) (0) → c 1 =0
+
24EI
Enseguida aplicando y (0) = 0
′
3
2
y (0) = 0 = c 2 +2c 3 (0) + 3c 4 (0) + ω 0 (0) → c 2 =0
′
p
6EI
y para las condiciones iniciales en el otro extremo de la viga m = yy
m =
′ ′
00

3
2
y p (L)=0 = c 1 + c 2 (L)+ c 3 (L) + c 4 (L) + ω 0 (L) 4
24EI
(x 0 ,y
(x 0 ,y 0 ) 0 ) 2
3
0 = (0) + 0 · L + c 3 (L) + c 4 (L) + ω 0 (L) 4
24EI
ω 0
2
c 3 L + c 4 L 3 = − L 4 II xx (3.37)
24EI
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
ω 0
2
3
y (L)=0 = c 2 +2c 3 (L)+3c 4 (L) + (L)
′
p
6EI
2c 3 L +3c 4 L 2 = − ω 0 L 3 (3.38)
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
6EI
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
Se resuelve el sistema de ecuaciones (3.37)-(3.38), multiplicando (3.37) por −2/L y sumando a (3.38)
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
2
2 2 3 2 ω 0 4 ω 0 3
− L c 3 L + c 4 L + (2c 3 L +3c 4 L )= − L − 24EI L − 6EI L
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1 ω 0
c 4 L 2 = − L 3
12EI
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
ω 0 L
c 4 = − (3.39)
12EI
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
′′′′
′ ′
al sustituir (3.39) en (3.37) se tiene
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy

4
2 ω 0 L 3 ω 0 4 1 ω 0 L 1 1
L
L =
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
−
= −
c 3 L + −
24
2
EI
12
12EI
24EI
L
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica. ω 0 L 2
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
= (3.40)
24EI
2 2
dy dy
d y d y
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2 (x) (x) dx dx 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2
dx dx
Por lo tanto, sustituyendo los valores de las constantes en la soluci´ on general (3.36) se tiene
↓↓
↓↓
↓↓
−4
= 12x
ω 0 L 2 ω 0 L yy ′′′′ ω 0 −4yy = 12x ω 0 2
ω 0

2
3
2
4
2
y(x)= x − x + x = x 2 x − 2Lx + L 2 = x (x − L) (3.41)
12EI
24EI
24EI
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene 24EI 24EI
2x 2x
2x 2x
−2xx
−2xx
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
y(x) =3
y (x) =6
′ ′
−
−
−
00
00
00
00
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y (0)= 1 =6e − 2e −
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
′ ′
y (0)= 1 =6 − 5=1
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 79