Page 71 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

2
Resolver (D +7D + 10)y = 4+ e −2x Soluciones de la ED ED
Soluciones de la
Soluci´ on: La ecuaci´ on auxiliar correspondiente es m +7m + 10=0, la cual puede factorizarse como
2

(m + 2)(m + 5)=0 siendo sus ra´
ıces m 1 = −2 y m 2 = −5. Por lo que la soluci´ on complementaria es

yy
y c (x)= c 1 e −2x + c 2 e −5x
Como g(x) = 4+ e −2x se asocian las raices m =0 al t´ ermino independiente y m = −2 al t´ ermino con
′
′
2
1
la funci´ on exponencial. Entonces se tendr´ ıa la soluci´ on provisional
y p (x)= A + Be −2x m = yy
m =
′ ′
00

Sin embargo, debe modificarse porque el t´ ermino Be −2x es linealmente dependiente (es un m´ ultiplo)
del t´ ermino c 1 e −2x que ya aparece en la soluci´ on complementaria y c (x). Esto es resultado de que m 1 =

(x 0 ,y 0 ) 0 )
(x 0 ,y
−2 y m = −2, es decir, la ra´ ız de valor −2 tiene multiplicidad 2, apareciendo una en la ecuaci´ on
′
2

diferencial homog´ enea y la otra en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea, respectivamente. Por lo tanto,
II xx
para que ambas soluciones sean linealmente independientes y la soluci´ on provisional debe modificarse
agregandole el t´ ermino que indica la multiplicada de la ra´ ız como sigue
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
y p (x)= A + Bxe −2x
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Las derivadas de y p (x) necesarias son las siguientes
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
−2x
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
−2x
′
+ Be
y (x)= −2Bxe
p
y (x)= 4Bxe −2x − 4Be −2x
′′
p
Ejemplo 3.1 3.1
Ejemplo
Sustituyendo y p (x) y sus derivadas en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea se tiene
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
′′
y (x)+7y (x)+10y p (x) = 4+ e −2x
′
p
p
−2x
−2x
′ ′
′′′′
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11 ) = 4+ e
) + 10(A + Bxe
(4Bxe −2x − 4Be −2x y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = −2x −2x
+ Be
)+7(−2Bxe
−2x
−2x
−2x
+ 10A = 4+ e
+(−4B +7B)e
(4B − 14B + 10B)xe
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
−2x
−2x
3Be
+ 10A = 4+ e
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
Al igualar coeficientes resultan
2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2 (x) (x) d y d y 10A =4 −→ A = 2 5
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx dx dx
3B =1 −→ B = 1
↓↓ ↓↓ 3 ↓↓
Al sustituir los valores encontrados yy para A y B, resulta la soluci´ on particular
−4
= 12x
−4yy
= 12x
′′′′
1
evaluando las condiciones iniciales se tiene 2 + xe −2x
evaluando las condiciones iniciales se tiene
y p (x)=
5 3
2x 2x
−2
−2xx
2x 2x
−2
−2xx
+ e + e
y(x) =3ee
− 2e 2e
y(x) =3
− 3x 3x
y (x) =6ee
y (x) =6
′ ′
Por lo tanto, la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea es − 33
−
−
−
00
00
00
00
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
1
2
y(x)= y c (x)+ y p (x)= c 1 e −2x ′ ′ + c 2 e −5x + + xe −2x
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
3
5
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 71
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´