Page 76 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

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Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo u ′ = sen(x)
Ejemplo 3.23.2
2

u 2 =
sen(x)dx
2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y = cx
= − cos(x)
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x
′ ′
′ ′
2 ′′′′
La soluci´ on particular que se obtiene con ´ estos ´ ultimos resultados es
en
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
′ ′ y 2 =[− ln(sec(x) + tan(x)) + sen(x)] cos(x) − cos(x) sen(x)
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
y p = u 1 y 1 + u 2
′′ ′′
= − ln(sec(x) + tan(x)) cos(x) + (sen(x) cos(x) − cos(x) sen(x))
2
′ ′
x
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
2 ′′′′
= − cos(x) ln(sec(x) + tan(x))
2 2
2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
La soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial es
6=
6= 6.6.
y(x)= c 1 cos(x)+ c 2 sen(x) − cos(x) ln(sec(x) + tan(x))
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
Al
y(0) = 4 = c(0) 2 2 y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y
′ ′
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
3.6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
superior
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
Ejemplo 3.13
´ unica
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
Hallar la carga q(t) en el capacitor de un circuito R − L − C conectado en serie como se muestra en la
Figura
3.3. 3.2, cuando L =0.25 H, R = 10 Ω, C =0.001 F, E(t)=0 Volts, q(0) = q 0 Coulombs e i(0) =
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con 0
Amperes.
coeficientes constantesconstantes
coeficientes
La
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
en
nencial y = c 1 ee −axax en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
−
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
e
(
(3.2)
(
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
+
a n yy (n)n) + a n−1 ya n−1 y (n−1)n−1) + ′′ ′′ ′ ′ (3.2)
a n
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
construyen
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independientes
independiente.
independiente. Figura 3.2: Circuito R-L-C [Elaboraci´ on propia].
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
linealmente
Soluci´ on: Si i(t) representa la corriente en el circuito el´ ectrico R − L − C en serie mostrado en la Figura
(3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 el capacitor, se puede calcular
3.2, entonces la ca´ ıda de voltaje a trav´ es de la resistencia, la bobina y (3.3)
c 1
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
76 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May