Page 70 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P Parte
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Ejemplo 3.23.21)y = e sen(2x)
Resolver (D 2 x
Ejemplo −
Soluci´ on: La ecuaci´ on auxiliar correspondiente es m − 1=0, de donde se tienen las ra´ ıces m 1 = −1 y
2
2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y = cx
m 2 =1. Por lo que la soluci´ on complementaria es
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x 2 2 ′′′′ ′ ′ ′ ′
y c (x)= c 1 e −x + c 2 e x
en
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
x
Como g(x)= e sen(2x) se asocia un par de raices complejas m ′ 1,2 =1±i2. Entonces se tiene la soluci´ on
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
provisional ′ ′ ′′ ′′
x
y p (x)= e (A cos(2x)+
2 ′′′′ B sen(2x))
2
x
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
′ ′
y las derivadas de y p (x) son x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
2 2
2 2
x
6= 6.6.
6=
x
x
′
y (x)= (A +2B)e cos(2x)+(−2A + B)e sen(2x)
p
x
x
′′
Al y (x)= (−3A +4B)e cos(2x)+(−4A − 3B)e sen(2x)
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
p
Sustituyendo y p (x) y sus derivadas en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea se tiene
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
y(0) = 4 = c(0) 2 2 y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y
′ ′
x
x
x
x
x
[(−3A +4B)e cos(2x)+(−4A − 3B)e sen(2x)] − [(A +2B)e cos(2x)+(−2A + B)e sen(2x)] = e sen(2x)
x
x
x
(−4A +4B)e cos(2x)+(−4A − 4B)e sen(2x)= e sen(2x)
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
de manera que al igualar coeficientes t´ ermino a t´ ermino en cada miembro 2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 se tiene el sistema de ecuaciones
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
´ unica
−4A +4B =0
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
−4A − 4B =1
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
3.3. ambas ecuaciones se tiene que
Al sumar
coeficientes constantesconstantes 1
coeficientes
−8A =1 −→ A = −
8
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
Al sustituir este valor de A en cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene el valor B. Se utiliza la primera
en
nencial y = c 1 ee
−
ecuaci´ on: −axax en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1
e 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
−4A +4B =0 −→ A = B −→ B = −
8
+ para
De acuerdo con los valores encontrados ( (n−1)n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
+ a n−1 ya n−1 y A y B, la soluci´ on particular y p (x) est´ a dada por
(3.2)
(n)n)
(
a n yy
+
′ ′
′′ ′′
a n
1
1
1
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
x
x
sen(2x)) = − e (cos(2x) + sen(2x))
en donde las a iy p (x)= e (− cos(2x) −
8
8
8
construyen
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
independientes de la ecuaci´ on diferencial homog´ enea es entonces
La soluci´ on general
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente. 1
independiente.
x
x
y(x)= y c (x)+ y p (x)= c 1 e −x + c 2 e − e (cos(2x) + sen(2x))
8
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
(3.3)
Ejemplo 3.9 c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
c 1
Dr Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
70 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May