Page 73 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

3.5.2. M´ etodo de variaci´ on de par´ ametros Soluciones de la ED ED
Soluciones de la

Este m´ etodo proporciona anal´ ıticamente una soluci´ on particular y p de la ecuaci´ on diferencial no ho-

mog´ enea yy
a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x) (3.27)
′′
′
Primero se escribe (3.27) en la forma y + P(x)y + Q(x)y = f(x), dividiendo toda la ecuaci´ on entre
′′
′
a 2 (x). Se encuentra la soluci´ on del caso homog´ eneo, es decir la soluci´ on general de y + P(x)y +
′′
′
Q(x)y =0
m =
m = yy
′ ′
y h (x)= c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x) 00 (3.28)

El m´ etodo consiste en proponer una soluci´ on particular de la forma y p (x)= u 1 y 1 (x)+ u 2 y 2 (x), donde

u 1 y u 2 pueden ser funciones de x no constantes. (x 0 ,y 0 ) 0 )
(x 0 ,y
La otra ecuaci´ on que se supone es
y 1 u + y 2 u =0 xx (3.29)
′
′
II 2
1
de manera que al derivar y p se tiene
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
y = u 1 y + y 1 u + u 2 y + y 2 u ′ 2 = u 1 y + u 2 y +(y 1 u + y 2 u )
′
′
′
′
′
′
′
′
2
1
1
2
1
p
2
1

0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
′
y p ′ = u 1 y + u 2 y ′ 2
1
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
Al derivar esta ´ ultima expresi´ on, resulta
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
y = u 1 y + y u + u 2 y + y u ′
′
′′
′′
′′
′
′
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1 p 1 1 1 2 2 2
La sustitucion de y , y y y p en y + P(x)y + Q(x)y = f(x) conduce a
′′
′
′′
′
p
p
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y(x) =3
y + P(x)y + Q(x)y p = f(x)
′′
′
p
p
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′′′′
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
′ ′

u 1 y + y u + u 2 y + y u ′ + P(x)[u 1 y + u 2 y ]+ Q(x)[u 1 y 1 + u 2 y 2 ]= f(x)
′′
′
′
′
′
′
′′
1
2 2
1 1
1
2
2
′′
u 1 [y + P(x)y + Q(x)y 1 ] +u 2 [y + P(x)y + Q(x)y 2 ] +y u + y u
′′
′
′
′
′
′
= f(x)
′
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
1
1 1
2
1
2
2 2

0
0
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
′
y u + y u ′ = f(x)
′
′
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica. 1 1 2 2
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
En otras palabras, u 1 y u 2 deben ser funciones que satisfagan la condici´ on
2 2
dy dy
a 2 (x) (x) d y d y 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx dx dx
′
′
′
′
↓↓ y u + y u = f ↓↓ (x) ↓↓ (3.30)
1 1 2 2
= 12x
yy ′′′′ −4yy = 12x
−4
Las ecuaciones (3.29) y (3.30) constituyen un sistema lineal de ecuaciones para determinar las derivadas
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene de
u y u . Por la regla de Cramer, la soluci´ on
′
′
1 2

y (x) =6 0
−2xx
−2xx
y(x) =3ee y 1 y −2 − 3x 3x u ′ y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
2x 2x
2x 2x
y(x) =3
′ ′
+ e + e2
1
−
−
−
=
00 y ′ y 00 u ′ ′ ′ f(x) 00 00
′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
1
2
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) 2 y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
puede expresarse en t´ erminos de determinantes y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
W 1 W 2
′
′
u = y u = (3.31)
1
2
W W
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 73