Page 77 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

aplicando la segunda ley de Kirchhoff, la suma de esos voltajes es igual al voltaje E(t) suministrado al
Soluciones de la
Soluciones de la ED ED
circuito. Esto es,
di(t) 1

yy L + Ri(t)+ q(t)= E(t) (3.33)
dt C
Pero la carga q(t) en el capacitor est´ a relacionada con la corriente i(t) mediante i = dq/dt, y as´ ı (3.33)
se convierte en la ecuaci´ on diferencial de segundo grado

2
d q(t) dq(t) 1
L + R + q(t)= E(t) (3.34)
dt 2 dt C
m = yy
m =
′ ′
00
Al sustituir los valores de resistencia, inductancia y capacitancia en (3.34), se convierte en

1
q (t)+10q (t) + 1000q(t)= 0
′
′′
(x 0 ,y
4 (x 0 ,y 0 ) 0 )
q (t)+40q (t) + 4000q(t)=0 (3.35)
′′
′
II xx
Resolviendo esta ecuaci´ on diferencial homog´ enea de la manera usual, se tiene una ecuaci´ on auxiliar
m + 40m + 4000 = 0 cuyas ra´ ıces son complejas conjugadas m 1,2 = −20 ± 60i. Por lo tanto la carga
2
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
q(t) en el capacitor queda expresada como
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
q(t)= e −20t (c 1 cos(60t)+ c 2 sen(60t))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
Aplicando las condiciones iniciales, q(0) = q0 e i(0) = dq(0)/dt =0, se encuentra que c 1 = q 0 y
c 2 = q 0 /3. As´ ı la soluci´ on esta dada por
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1

1
−20t
q(t)=
sen(60t)
2x 2x q 0 e
cos(60t)+
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
3
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
′′′′
′ ′
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Ejemplo 3.14
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
Una viga est´ a doblemente empotrada como se muestra en Figura 3.3. La deflexi´ on y(x) debe satisfacer
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
la ecuaci´ on diferencial 2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2 (x) (x) d y d y 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
4
a 2
dx dx d y
dx dx
EI = ω(x)
↓↓ dx 4 ↓↓ ↓↓
−4
= 12x
= 12x
−4yy
donde E es el m´ odulo el´ astico de yy Young, I es el momento de inercia de una secci´ on transversal de la
′′′′
viga y ω(x) es la carga que soporta la viga que, en este caso, est´ a uniformemente distribuida, es decir
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
ω(x)= ω 0 siendo 0 < x<L.
−2xx
2x 2x
2x 2x
y(x) =3ee lados se tiene
Al estar la viga empotrada en ambos + e + e −2 − 3x 3xque y(0) = 0 y y(L)=0,y y (0) = 0 y y (L)=0.
−2xx
−2
− 2e 2e
y(x) =3
− 33
y (x) =6
y (x) =6ee
′ ′
′
′
−
−
−
Las condiciones iniciales y(0) = 0 y 00 y(L)=0 indican que no existe deflexi´ on vertical en los extremos
00
00
00
y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y (0)= 1 =6e − 2e −
de la viga, mientras que las condiciones y (0) = 0 y y ′ ′ ′ (L) =0 significan que la l´ ınea de deflexi´ on (o
′
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
el´ astica) es horizontal (con pendiente cero) en sus extremos.
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 77