Page 72 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo 3.23.2
Ejemplo 3.10
Ejemplo
2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
2
Verificar que la funci´ on y = cx
Resolver y +3y +2y =4x
′
′′
2
Soluci´ on: La ecuaci´ on auxiliar correspondiente es m +3m +4 = 0 que puede rescribirse (m + 1)(m +
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x
2 ′′′′
′ ′
′ ′
2) = 0 siendo sus ra´ ıces m 1 = −1 y m 2 = −2. Por lo que la soluci´ on complementaria es
en
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
−x
−2x
+ c 2 e
y c (x)= c 1 e
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′′ ′′
′ ′
Como g(x) =4x se asocian raices reales repetidas m = m = m =0 y entonces se tiene la soluci´ on
2
′
′
′
2
1
3
provisional x 2 2 ′′′′ ′ ′
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
2
y p (x)= A + Bx
2 2 + Ex
2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
Las derivadas de esta soluci´ on particular son 6=
6= 6.6.
y (x)= B +2Ex
′
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
Al p
y (x)= 2E
′′
p
2 2
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
′ ′
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y
y(0) = 4 = c(0)
Sustituyendo y p (x) y sus derivadas en la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea se tiene
′′
y +3y +2y =4x 2
′
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
2
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
2E + 3(B +2Ex)+2(A + Bx + Ex )= 4x 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
2E +3B +6Ex +2A +2Bx + Ex 2 =4x 2
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica (2A +3B +2E)+(2B +6E)x +2Ex 2 =4x 2
de donde se tienen 3 ecuaciones con 3 inc´ ognitas
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
3.3. 2A +3B +2E =0
coeficientes
coeficientes constantesconstantes 2B +6E =0
2E =4
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
−axaxon se tiene que E =2. Al sustituir este valor de E en la segunda ecuaci´ on se tiene
De la ´ ultima ecuaci´
en
nencial y = c 1 ee − en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
e 2B + 6(2) = 0 −→ B = −6
Por ´ ultimo se sustituyen los (n)n) + ( (n−1)n−1) + ′′ ′′ ′ ′ (3.2)
(3.2)
(
a n yy valores de B y E en la primera ecuaci´ on para encontrar el valor de A
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
+ a n−1 ya n−1 y
a n
2A + 3(−6) + 2(2) = 0 −→ A =7
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
construyen
Al sustituir los valores encontrados para A, B y E resulta la soluci´ on particular
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente.
independiente. y p (x)=7 − 6x +2x 2
De manera que la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial no homog´ enea es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente y(x)= y c (x)+ −x + c 2 e −2x +7 − 6x +2x 2
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad y p (x)= c 1 e
(3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
c 1
72 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May