Page 68 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Ejemplo 3.1:
Tabla
Ejemplo 3.23.2 Ejemplos de soluciones particulares y p (x) provisionales para algunas funciones g(x)
Verificar que la funci´ on y = cx Raices asociadas a Soluci´ on particular asociada a las
2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial ra´ ıces de g(x)
Funci´ on g(x)
la funci´ on g(x)
g(x)=7, g(x)= −20, x m =0 ′ ′ y p (x)= Ae 0·x ′ ′ = A
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
2 ′′′′
2 ′
g(x) = 200, g(x)= π
en g(x)=5x, g(x)= −2x, m = m =0 y p (x)= 0·x + Bxe 0·x = A + Bx
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c. Ae
′
′
1
2
g(x)=5 + 4x
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
′′ ′′
g(x)= x , m = m = m =0 y p (x)= Ae 0·x + Bxe 0·x + Ex e = A + Bx + Ex 2
2 0·x
2
′
′
′
1 2 3
g(x)=2x +3x 2 2 2 ′′′′ ′ ′
x
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
g(x)=5 − x +6x 2 2 2 2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
2 2x
x
2 2x
g(x)=5e +4e −x +3x e x m =1, m = −1 y p (x)= Ae + Be −x + Ee 2x + Fxe 2x + Gx e
′
′
1
2
6=
m = m =2 6= 6.6.
′
′
4
3
g(x) = 10 cos(x) m ′ 1,2 =0 ± i y p (x)= A cos(x)+ B sen(x)
2x
2x
m
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales =2 ± 3i y p (x)= e (A cos(x)+ B sen(x))+
Al g(x)=8e
′
cos(3x)−
1,2
7e −x sen(5x) m ′ = −1 ± 5i e −x (E cos(5x)+ F sen(5x))
3,4
x x x
′
g(x)=5 + 4xe − m =0, 2 2 y p (x)= A + Be + Exe +
1
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
√ y(0) = 4 = c(0) 2x y ′ ′ √ √
2x
7xe sen( 2x) m = m =1 e (F cos( 2x)+ G sen( 2x))+
′
′
3
2
√ √ √
2x
m ′ 4,5 = m ′ 5,6 = −2 ± 2i xe (H cos( 2x)+ I sen( 2x))
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
a) El m´ etodo de coeficientes indeterminados. 2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
condiciones
b) El m´ etodo de variaci´ on de par´ ametros.
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica
Enseguida se ilustra la aplicaci´ on de ambos m´ etodos.
3.3.
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
3.5.1. M´ etodo de coeficientes indeterminados
coeficientes constantesconstantes
coeficientes
Este m´ etodo consiste en ensayar una soluci´ on particular y p (x) mediante el an´ alisis de las ra´ ıces que
se observan en la funci´ on g(x) de (3.25). Esta y p (x) provisional contendr´ a coeficientes indeterminados
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
−axaxlos cuales se podr´ an obtener al verificar que y p (x) sea soluci´ on de la ecuaci´ on dife-
A,B,E,F,.. .,Z, en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
en
nencial y = c 1 ee
−
nencial y = c 1
rencial.
e
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
(
(n)n)
(
(3.2)
+ a n−1 ya n−1 yprovisionales
An´ alisis de g(x) y sus respectivas (n−1)n−1) + ′′ ′′ ′ ′ (3.2)
a n yy
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
+ y p (x)
a n
Enseguida se ilustran en la Tabla 3.1 algunos ejemplos de las soluciones y p (x) provisionales que
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
corresponden a las ra´ ıces que se observan en g(x). Las ra´ ıces se denotan como m para distinguirlas de
′
construyen
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
las ra´ ıces de la ecuaci´ on auxiliar que resulten al resolver la ecuaci´ on diferencial homog´ enea asociada.
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
Despu´ es de realizar este an´ alisis, conviene realizar algunas observaciones:
independiente.
independiente.
1. Observe que las soluciones se ensayan para g(x) que contiene exponenciales, polinomios o funcio-
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
nes trigonom´ etricas senos y cosenos, debido a que ´ estos provienen de algunos de los casos que se
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
linealmente
estudiaron al analizar las ra´ ıces en las ecuaciones diferenciales homog´ eneas mediante la ecuaci´ on
(3.3)
auxiliar. c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
c 1
68 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May