Page 67 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

de donde m 1,2 = m 3,4 = ±3i. Aqu´ ı se combinan los casos 2 y 3 analizados anteriormente. Apli-
Soluciones de la
Soluciones de la ED ED
cando el Teorema de superposici´ on, resultad en la siguiente soluci´ on general

yy
x(c 3 cos(3x)+ c 4 sen(3x))
y(x)= c 1 cos(3x)+ c 2 sen(3x)+
e) La ecuaci´ on auxiliar correspondiente es m + 16=0. De manera que las ra´ ıces son complejas conju-
2
gadas y la soluci´ on general es

y(x)= c 1 cos(4x)+ c 2 sen(4x)
m =
m = yy
′ ′
00

Al utilizar la primera condici´ on inicial se tiene

y(0) = 2 = c 1 cos(0) + c 2 sen(0)
(x 0 ,y
(x 0 ,y 0 ) 0 )
2= c 1
II xx
Para emplear la segunda condici´ on inicial y obtener c2 se requiere obtener y ′
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
′
y (x)= −4c 1 sen(4x)+4c 2 cos(4x)
y (0) = −2= −4c 1 sen(0) + 4c 2 cos(0)
′
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
−2= 4c 2
1
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
c 2 = −
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
2
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
Sustituyendo los valores obtenidos para cada constante (par´ ametro) resulta la soluci´ on particular
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1
1
y(x) = 2 cos(4x) − sen(4x)
2
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
2x 2x
−2xx
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′ ′
′′′′
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
3.5. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales no homog´ eneas
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
con coeficientes constantes.
2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2 (x) (x) d y d y 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2
dx dx
dx dx
La soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial de coeficientes constantes
↓↓ ↓↓ ↓↓
yy ′′′′ −4yy = 12x (3.25)
−4
= 12x
f(D)y = g(x), con g(x) ̸=0
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
tiene la forma
y(x)= y c (x)+
′ ′ y p (x)
2x 2x
−2xx
2x 2x
−2xx
y (x) =6
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33 (3.26)
y(x) =3
−
−
−
esto es, consta de la suma de dos soluciones. y (0)= 1 =6e − 2e − 33
00
00
00
00
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
′ ′
y (0)= 1 =6e − 2e −
La primer componente y c (x) designada con el nombre ′ ′de complementaria o transitoria, se determina
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
resolviendo la ecuaci´ on diferencial homog´ enea f(D)y =0. La segunda componente y p (x), constituye la
soluci´ on particular o estacionaria y existen dos m´ etodos para encontrarla:
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 67