Page 66 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo
Ejemplo 3.23.2 on diferencial puede reescribirse como (D +3D − 4D)y =0, de manera que al hacer
a) La ecuaci´ 3 2
D = m se obtiene la ecuaci´ on auxiliar
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
2 2
Verificar que la funci´ on y = cx
2
3
m +3m − 4m = m(m + 4)(m − 1) = 0
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x
′ ′
2 ′′′′
′ ′
de donde m 1 =0, m 2 = −4 y m 3 =1 son ra´ ıces reales y distintas todas. Con ello, se tienen las
en soluciones y 1 (x)= e 0x =1, y 2 (x)= e −4x y y 3 (x)= e . Al utilizar el Teorema de superposici´ on,
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c. x
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′′ ′′
resulta la soluci´ on general
′ ′
y(x)= c 1 + c 2 e −4x + c 3 e x
2
2 ′′′′
′ ′
x
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
4
3
b) Al reescribir la ecuaci´ on diferencial como (D +5D − 2D − 10D + D + 5)y =0, de manera que
2
5
2 2
2 2
x
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
al hacer D = m se obtiene la ecuaci´ on auxiliar
6=
6= 6.6.
3
2
5
4
m +5m − 2m − 10m + m + 5=0
Al
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
la cual puede expresarse como
2 2
y(0) = 4 = c(0)
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3, y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
′ ′
y
2
2
(m − 1) (m + 1) (m + 5)=0
de donde m 1 = m 2 =1, m 3 = m 4 = −1 y m 5 = −5. Aqu´ ı se combinan los casos 1 y 2
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
2 2 e , y 2 (x)= xe , y 3 (x)= e ,
x
−x
x
analizados anteriormente. Con ello, se tienen las soluciones y 1 (x)=
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
−5x
. Al utilizar el Teorema de superposici´ on, resulta la soluci´ on general
−x
y 4 (x)= xe
y y 5 (x)= e
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
condiciones
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica x x −x −x −5x
y(x)= c 1 e + c 2 xe + c 3 e + c 4 xe + c 5 e
c) La ecuaci´ on diferencial ya se encuentra escrita con el operador diferencial lineal de orden n =3, de
3.3.
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
manera que al hacer D = m se obtiene la ecuaci´ on auxiliar
coeficientes constantesconstantes
coeficientes
2
3
m +5m + 17m + 13= 0
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
la cual puede expresarse como
en
nencial y = c 1 ee −axax en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
−
nencial y = c 1
2
e (m + 1)(m +4m + 13) = (m + 1)(m +2 −
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como 3i)(m +2+ 3i) =0
a n yy 2,3 = −2 ± 3i. son ra´ ıces reales y distintas todas. Aqu´ ı se combinan los
de donde m 1 = −1, m (n)n) + a n−1 ya n−1 y ( (n−1)n−1) + ′′ ′′ ′ ′ (3.2)
(3.2)
(
+
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
a n
casos 1 y 3 analizados anteriormente, por lo que al aplicar el Teorema de superposici´ on, resulta la
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a igeneral
soluci´ on
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
construyen y(x)= c 1 e −x + e −2x (c 2 cos(3x)+ c 4 sen(3x))
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
d) A partir de la ecuaci´ on diferencial dada se obtiene la ecuaci´ on auxiliar al remplazar D = m
independiente.
independiente.
2
4
m + 18m + 81=0
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
la cual puede expresarse como
(3.3)
2
2
2
(m + 9) = c 1 [(m +3i)(m − 3i)] =(m +3i)(m − 3i)(m (3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0+3i)(m − 3i) =0
66 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May