Page 65 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

d) Por ´ ultimo, los casos anteriores pueden combinarse entre s´ ı al resolver una ecuaci´ on diferencial de
Soluciones de la ED ED
Soluciones de la
orden n, por lo que las soluciones obtenidas de acuerdo con las ra´ ıces de la ecuaci´ on auxiliar

pueden combinarse linealmente
manteniendo siempre la independencia lineal.

yy
Ejemplo 3.6

Si se utiliza el s´ ımbolo D para designar la n-´ esima derivada de una funci´ on
n
n
d y
n
D y = m = yy (3.24)
m =
′ ′
dx n 00

entonces una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes

(x 0 ,y
n
d y d n−1 y (x 0 ,y 0 ) 0 ) dy
a n + a n−1 + · ·· + a 1 + a 0 y = g(x)
dx n dx n−1 dx
II xx
quedar´ ıa representada como
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
n
(a n D + a n−1 Dn − 1+ · ·· + a 1 D + a 0 )y = g(x)
donde a n D + a n−1 Dn − 1+ · ·· + a 1 D + a 0 se llama operador diferencial lineal de orden n ya
n
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
menudo se describe como f(D) dado que es un polinomio en D. De este modo, la expresi´ on para una
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.auxiliar f(m)=0, se obtiene
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
ecuaci´ on diferencial de este tipo se reduce a f(D)y = g(x). La ecuaci´ on
del operador f(D) sustituyendo el s´ ımbolo de derivada por la variable algebraica m.
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1 procedimiento para hallar la ecuaci´ on auxiliar y la soluci´ on de las siguientes ecuaciones
Use este
diferenciales lineales homog´ eneas (g(x)=0) de coeficientes constantes:
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
a)
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
′′′′
′ ′
3
2
d y d y dy
+3 − 4 =0
dx
3
2
dx
dx
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
b)
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
3
2
4
d y
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica. 5 +5 d y − 2 d y − 10 d y + dy +5y =0
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
dx 5 dx 4 dx 3 dx 2 dx
2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2 (x) (x) d y d y 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2
c) dx dx dx dx
↓↓ ↓↓ ↓↓
2
3
(D +5D + 17D + 13)y =0
−4
yy ′′′′ −4yy = 12x
= 12x
d)
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
2
4
(D + 18D + 81)y =0
2x 2x
−2xx
−2xx
2x 2x
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
y(x) =3
y (x) =6
′ ′
−
−
−
e) y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
00
00
00
00
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
′ ′
y (0)= 1 =6e − 2e −
y + 16y =0,y(0)
′ ′ = 2,y (0) = −2
′
′′
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
Soluci´ on:
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 65