Page 64 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo
Ejemplo 3.23.2c 1 = −1, la segunda condicion inicial implica
Sustituyendo
2 2 0
0
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y = cx e (3 sen(0) + 3c 2 cos(0)) + 2e (− cos(0) + c 2 sen(0))
y (0) = 2 =
′
2= 3c 2 − 2
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
′ ′
2 ′′′′
′ ′
x 4
c 2 =
3
en
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
Al sustituir c 1 y c 2 en la soluci´ on general, se obtiene la siguiente soluci´ on particular
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
′′ ′′

4
y(x)= e 2x − cos(3x)+ sen(3x)
2
2 ′′′′
3
′ ′
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
x
x 2 2 2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
6=
6= 6.6.
3.4. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas de
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
Al
orden 3 o mayor
2 2
y
′ ′
y(0) = 4 = c(0)
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3, y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
Los casos vistos hasta ahora corresponden a ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para resolver
las de orden n > 3 se requiere:
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
a) Encontrar la ecuaci´ on auxiliar. 2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
b) Hallar las n ra´ ıces de la ecuaci´ on auxiliar por factorizaci´ on o mediante divisi´ on sint´ etica.
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica
c) Si todas las ra´ ıces son:
3.3.
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
Reales y diferentes m 1 ̸= m 2 ̸= . .. ̸= m n se tendr´ a como soluci´ on general a la combinaci´ on
coeficientes
coeficientes constantesconstantes
lineal
y(x)= c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + c 3 e m 3 x + · ·· + c n e m nx (3.20)
La
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
Reales y repetidas m 1 = m 2 = . .. = m n se tendr´ a como soluci´ on general a la combinaci´ on
en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1 ee −axax en
−
lineal
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
e
2 m 2 x
e
y(x)= c 1 e m 1 x + c 2 xe m 2 x + c 3 x e · ·· + c n x n−1 m nx (3.21)
(
(n−1)n−1)
(
(3.2)
(3.2)
(n)n)
+ a n−1 ya n−1 y
+
a n yy
+
+ · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0
′ ′
′′ ′′
Complejas conjugadas diferentes m 1,2 = α 1,2 ± iβ 1,2 ,m 3,4 = α 3,4 ± iβ 3,4 ,. .., m n−1,n =
a n
α n−1,n ± iβ n−1,1 se tendr´ a como soluci´ on general a la combinaci´ on lineal
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
α 1,2 x
α 3,4 x
construyen
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
y(x)= e
(c 1 cos(β 1,2 x)+ c 2 sen(β 1,2 x)) + e
(c 3 cos(β 3,4 x)+ c 4 sen(β 3,4 x))
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
(3.22)
α n−1,n x
+ . .. + e
(c n−1 cos(β n−1,n x)+ c n sen(β n−1,n x))
independiente.
independiente.
Complejas conjugadas repetidas m 1,2 = m 3,4 =,. .., m n−1,n = α ± iβ se tendr´ a como solu-
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
ci´ on general a la combinaci´ on lineal
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
linealmente
αx
αx
y(x)= e (c 1 cos(βx)+ c 2 sen(βx)) + xe (c 3 cos(βx)+ c 4 sen(βx))
(3.3)
(3.3)
c 1+ . .. + x n−1 αx (3.23)
e (c n−1 cos(βx)+ c n sen(βx
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0))
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
64 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May