Page 63 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

b) La ecuaci´ on auxiliar es
Soluciones de la
Soluciones de la ED ED
2
m − 10m + 25=0

que puede expresarse como

yy
2
(m − 5) =0
para obtener las ra´ ıces
m 1 = m 2 =5
Las ra´ ıces son reales y repetidas por lo que la soluci´ on general es ′ ′
m =
m = yy
00

y(x)= c 1 e 5x + c 2 xe 5x

(x 0 ,y
(x 0 ,y 0 ) 0 )
c) La ecuaci´ on auxiliar es

2
m + m + 1=0 xx

II
y puede resolverse mediante la f´ ormula de la ecuaci´ on cuadr´ atica (3.11) con a = b = c =1 para
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
obtener las ra´ ıces √
1 3
m 1,2 = − ± i
2
2
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
que son complejas conjugadas, de manera que la soluci´ on general es
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica. 3
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
√
√

3
1
y(x)= e − x c 1 cos x + c 2 sen x
2
2 2
Ejemplo
Ejemplo 3.1 3.1
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Ejemplo 3.5 y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′ ′
′′′′
Resolver el problema de valor inicial
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
′
′′
′
y − 4y + 13y =0, y(0) = −1, y (0) = 2
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
2
dy dy 4m + 13 = 0 son m 1,2 =2 ± 3i, de manera que la
2 2
Soluci´ on: Las raices de la ecuaci´ on auxiliar m −
d y d y
a 2 (x) (x) dx dx 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx
soluci´ on general esta dada por
↓↓ ↓↓ ↓↓
−4
yy ′′′′ −4yy = 12x
= 12x
2x
y(x)= e (c 1 cos(3x)+ c 2 sen(3x))
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
La condicion inicial y(0) = −1 implica que
−2xx
2x 2x
2x 2x
−2xx
y(x) =3
y (x) =6
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
′ ′
−
−
−
0
y(0) = −1= e (c 1 cos(0) + c 2 sen(0)) = c 1 00
00
00
00
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
Para utilizar la segunda condici´ on inicial se requiere y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4 obtener la derivada de la soluci´ on general
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
′ ′
2x
2x
y (x)= e (−3c 1 sen(3x)+3c 2 cos(3x))+2e (c 1 cos(3x)+ c 2 sen(3x))
′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 63
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May