Page 62 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo 3.23.2
Ejemplo
Caso III: Ra´ ıces complejas conjugadas
2 2
Este tipo de ra´ ıces ocurrir´
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial ıa escribir
Verificar que la funci´ on y = cx ıan cuando el radical b − 4ac < 0. En tal caso, se podr´
2
x 2 2 ′′′′ ′ ′ m 1,2 = α ± iβ ′ ′
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
cuya soluci´ on de (3.10) ser´ ıa de la forma
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
en
m 2 x
′′ ′′ 1 x
m
Soluci´ on: Puesto que y
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que e (α+iβ)x + c 2 e (α−iβ)x
+ c 2 e
y(x)= c 1 e
′ ′
= c 1
Ahora bien, si se utiliza la f´ ormula de Euler que relaciona ′ ′
2 ′′′′ la funci´ on exponencial compleja y las funciones
2
x
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
trigonom´ etricas sinusoidales 2 2 2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
e ±iθ = cos(θ) ± i sen(θ) (3.18)
6=
6= 6.6.
se tendr´ ıa para m 1 = α + iβ y m 2 = α − iβ
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
Al
αx
αx iβx
e (α+iβ)x = e e = e (cos(β)+ i sen(β))
αx
αx −iβx
e (α−iβ)x = e e = e (cos(β) − i sen(β)).
2 2
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3, y ′ ′
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y(0) = 4 = c(0)
La soluci´ on se reescribe entonces de la siguiente forma
m 2 x
m 1 x
y(x)= c 1 e
+ c 2 e
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
αx
αx
= c 1 e
[cos(βx) − i sen(βx)]
[cos(βx)+ i sen(βx)] + c 2 e
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
condiciones αx αx
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
=(c 1 + c 2 )e cos βx + i(c 1 − c 2 )e sen βx
´ unica
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
Si se hace c 1 + c 2 = C 1 y i(c 1 − c 2 )= C 2 , resulta
3.3.
αx
αx
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
sen βx
cos βx + C 2 e
y(x)= C 1 e
αx
= e (C 1 cos βx + C 2 sen βx) (3.19)
coeficientes
coeficientes constantesconstantes
Ejemplo 3.4
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
en ecuaciones diferenciales
Resuelva las siguientes
en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
−axax
nencial y = c 1 ee
−
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
ea) y + y − 6y =0
b) y − 10y + 25y =0
c) y + y + y =0
′′
′′
′
′
′
′′
Soluci´ on:
(3.2)
+
+ a n−1 ya n−1 y
a n yy ( (n)n) + ( (n−1)n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
′′ ′′
′ ′
a n
a) La ecuaci´ on auxiliar es
2
m + m − 6 =0
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
construyen
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
que puede expresarse como
independientes (m + 3)(m − 2) = 0
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente.
independiente.
para obtener las ra´ ıces
m 1 = −3,m 2 =2
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
linealmente
Las ra´ ıces son reales y diferentes por lo que la soluci´ on general es
(3.3)
−3x
2x
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
y(x)= c 1 e
+ c 2 e
c 1
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
62 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May