Page 61 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

y resolviendo para w se obtiene
Soluciones de la
Soluciones de la ED ED
e − Pdx
w = c 1 2
y 1

yy
Ahora bien, como w = u , entonces se tiene que
′

Pdx
e −
u = w = c 1 dx + c 2
y 2
1
Adem´ as, dado que y = u(x)y 1 (x), se tendr´ ıa ahora
m = yy
m =
′ ′

Pdx 00
e −
(x)
y = c 1 y 1 (x) dx + c 2 y 1
y 2 1

Si se hace c 2 =0 y c 1 =1, la expresi´ on hallada quedar´
(x 0 ,y 0 ) 0 ) como
(x 0 ,y ıa

Pdx
e −

y = II dx xx (3.15)
y 1 (x)
y 1 2
Con base en el desarrollo anterior, el cual permiti´ o construir una segunda soluci´ on a partir de una soluci´ on
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
ya conocida se procede ahora a establecer la soluci´ on de (3.10) para el caso en que la ecuaci´ on auxiliar
(3.11) tiene ra´ ıces iguales (repetidas).
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Para que en (3.11) se obtengan ra´ ıces repetidas, se requiere que el radical b − 4ac =0. En este caso,
2
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
las ra´ ıces quedan como
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
b
m 1 = m 2 = − (3.16)
2a
Ejemplo 3.1 3.1 m 1 x
Ejemplo
Con estas ra´ ıces se puede proponer una soluci´ on conocida y 1 (x)= e . Est´ a claro que una segunda
−2xx a no satisfacer los Teoremas 3.1 y 3.3, ya que al ser id´ enticas
soluci´ on y 2 (x)= y 1 (x)= e m 1 x conducir´ ıa
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y(x) =3
ambas soluciones resultan linealmente dependientes. Bajo estas circunstancias, es necesario construir una
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = de
′ ′ m 1 x
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11tal modo que y 1 (x) y y 2 (x)
segunda soluci´ on y 2 (x) a partir de la soluci´ on conocida y 1 (x)= e ,
′′′′
sean ahora linealmente independientes.
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
Con este fin, se utiliza la f´ ormula dada en (3.15) considerando las ra´ ıces en (3.16) y que P = b/a
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
como se indica para (3.14) para obtener
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.

e − a b dx e 2m 1 dx
2 2
m
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x)) dx
y 2 (x)= d y d y 1 x dy dy dx = e m 1 x
a 2 (x) (x) e
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2
dx dx
dx dx e 2m 1 x e 2m 1 x
↓↓ e 2m 1 x ↓↓ ↓↓
dx
= yy ′′′′ e m 1 x e 2m 1 x dx = e m 1 x = 12x
= 12x
−4yy
−4
y 2 (x)= xe m 1 x
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
De esta forma, la soluci´ on general (la combinaci´ on lineal de las soluciones encontradas) en este caso es
2x 2x
−2xx
−2xx
2x 2x
y (x) =6
y(x) =3
y(x) =3ee + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
′ ′
−
−
−
00
00
′ ′
y (0)= 1 =6e − 2e − 33
m
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) 1 x + c 2 xe m 1 x 00 00 (3.17)
y(x)= c 1 e
y (0)= 1 =6e − 2e −
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
Evidentemente, las soluciones as´ ı encontradas satisfacen los Teoremas 3.1 y 3.3. Se deja como ejercicio
al estudiante verificar que el determinante Wronskiano, W(y1,y2) es diferente de cero.
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 61
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´