Page 60 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo
Ejemplo 3.23.2 la ecuaci´ on diferencial anterior entre a, como sigue
Si se divide
b c
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
′′
′
2 2
y + y + y =0
Verificar que la funci´ on y = cx
a a
se puede llevar la ecuaci´ on diferencial anterior a la forma
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x 2 2 ′′′′ ′ ′ ′ ′
′
′′
y + Py + Qy =0 (3.14)
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
en
con P = b/a y Q = c/a, y donde todos los coeficientes de la ecuaci´ on son funciones de la variable x y
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
son continuas en alg´ un intervalo I. ′′ ′′
Si se define y = u(x)y 1 (x) en t´ erminos de la soluci´ ′ ′
2 ′′′′ on conocida y 1 (x), su primera y segunda derivada
2
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6
x
son 2 2 2 2
x
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
y ′ = uy + y 1 u ′ 6= 6.6.
′
6=
1
′′
′′
′
y ′′ = uy + y u + y 1 u + y u = uy +2y u + y 1 u ′′
′
′′
′
′
′
′
1
1
1
1
1
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
Al
Si ahora se sustituye y e y en (3.14) se tiene que
′
′′
′
′′
′
′
′
′′
y + Py + Qy =(uy +2y u + y 1 u y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
′
′ ′)+ P(uy + y 1 u )+ Q(uy 1 )
′′
2 2
y(0) = 4 = c(0)
y
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
1
1
1
=(y + Py + Qy 1 )u + y 1 u + (2y + Py 1 )u =0
′′
′
′
′
′′
1
1
1
N´ otese que dado que y + Py + Qy 1 es soluci´ on de la expresi´ on que aparece en el miembro izquierdo
′′
′
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
1
1
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
de la presente ecuaci´ on. Al efectuar la consideraci´ on anterior ocurrir´ ıa que 2 2 para satisfacer la igualdad, el
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
segundo y tercer sumandos del miembro derecho tambi´ en deber´ ıan quedar como
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
´ unica y 1 u + (2y + Py 1 )u =0
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
′
′
′′
1
Haciendo u = w, ocurrir´ ıa que u = w y la ecuaci´ on diferencial anterior queda rescrita como
′
′′
′
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
3.3. y 1 w + (2y + Py 1 )w =0
′
′
1
La ecuaci´ on anterior es
coeficientes lineal en w y tambi´
coeficientes constantesconstantesen es de variables separables. Por ello, al aplicar la segunda
t´ ecnica y dividiendo por y 1 resulta
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La y ′
w + 2 1 + P w =0
′
en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1 ee −axax en y 1
−
nencial y = c 1
y como w = dw/dx se tiene una ecuaci´ on diferencial de variables separables
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
e
′

dw y ′ 1
(n−1)n−1) 2
′′ ′′ dx =0
+ P
(
(3.2)
a n yy (n)n) + ( + + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
′ ′
+ a n−1 ya n−1 y w
a n
+ y 1
que al integrarse se obtiene lo asiguiente:
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i

dw y 1 ′
construyen + 2 dx+= − Pdx + 0
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
w y 1
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente

ln w + 2 ln y 1 = − Pdx + c
independiente.
independiente.

2
ln w + ln y
Pdx + c
= −
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
1
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1

linealmente
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad 2
ln(wy )= − Pdx + c
1

(3.3)
2
Pdx+c
Pdx c
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 c 1 e − Pdx (3.3)
= e
−
−
= e
wy
e =
c 1
1
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
60 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May