Page 59 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

3.3.1. Ecuaci´ on Auxiliar Soluciones de la ED ED
Soluciones de la

Considere el caso particular de la ecuaci´ on de segundo orden

yy
ay + by + cy =0. (3.10)
′′
′
2 mx
Si se prueba una soluci´ on de la forma y = e mx , entonces y = me mx y y = m e de tal manera que la
′′
′
ecuaci´ on (3.10) se convierte y factoriza en
m =
2 mx
′ ′
am e + bme mx + ce mx =0 m = yy
00

2
e mx (am + bm + c)= 0

(x 0 ,y 0 ) 0 )
(x 0 ,y
Debido a que e mx nunca se anula para valores reales de x, es evidente que la ´ unica manera de que esta

funci´ on exponencial pueda satisfacer la ecuaci´ on diferencial es seleccionando m de tal manera que sea
una ra´ ız de la ecuaci´ on cuadr´ atica. II xx
2
am + bm + c =0 (3.11)
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Esta ´ ultima ecuaci´ on se llama ecuaci´ on auxiliar o ecuaci´ on caracter´ ıstica de la ecuaci´ on diferencial
(3.10). Si se utiliza la f´ ormula que da soluci´ on a la ecuaci´ on cuadr´ atica para resolver (3.11), se tiene que
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
√
2
b − 4ac
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
−b ±
m 1,2 = (3.12)
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
2a
por lo que se considerar´ an tres casos, seg´ un la ecuaci´ on auxiliar tenga ra´ ıces reales diferentes, ra´ ıces
Ejemplo 3.1 3.1
Ejemplo
reales iguales o ra´ ıces complejas conjugadas.
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee + e + e −2 − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
Caso I. Ra´ ıces reales diferentes
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
′′′′
′ ′
Las ra´ ıces m 1 y m 2 son reales y distintas si y solo s´ ı, el radical b − 4ac > 0. En este caso, se tienen
2
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
dos soluciones
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
m 1 x
m 2 x
y 1 = e
y y 2 = e
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
que corresponden a funciones que son linealmente independientes en (−∞, ∞) y por tanto forman un
2 2
dy dy
conjunto fundamental. Empleando d y d y 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
a 2 (x) (x) el principio de superposicion, se deduce entonces que la soluci´ on
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx dx dx
general de (3.10) en este intervalo es ↓↓ ↓↓ ↓↓
yy ′′′′ −4yy = 12x
−4
= 12x
y = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x (3.13)
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
Caso II. Ra´ ıces reales repetidas −2xx − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e −2 − 33
2x 2x
−2
−2xx
2x 2x
y (x) =6
y(x) =3ee
+ e + e
y(x) =3
′ ′
−
−
−
00
00
00
00
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y (0)= 1 =6e − 2e − 33
′ ′
Antes de analizar este caso, es necesario ilustrar c´ omo se obtiene una segunda soluci´ on y 2 (x), a partir
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y (0)= 1 =6e − 2e −
de una soluci´ on y 1 (x) conocida de la ecuaci´ on de y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4 segundo orden (3.10):
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
′
ay + by + cy =0
′′
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May 59