Page 58 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo 3.23.2
Ejemplo constantes c la verifican cuando ocurre c 1 = c 2 = c 3 = ... = c n =0 y por lo tanto
donde las
y
2 2 = c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x)
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial (3.4)
Verificar que la funci´ on y = cx
2
tambi´ en ser´ ıa una soluci´ on .
x 2 2 ′′′′ ′ ′ ′ ′
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
Teorema 3.3 Una condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto de n soluciones sea linealmente
en
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
independiente, es que
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
′′ ′′

y 1 y 2 y 3 · ·· y n

y ′ 2 ′′′′ y ′ ′ ′y ′ y ′
2
1 x 2 3 · ··
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6 n

W(y 1 ,y 2 ,y y ′′ y ′′ 2 2 y ′′ · ·· y ′′ ̸=0 (3.5)
3
2
1
2 2 3 ,. .., y n )=
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6 . n
x
.
.
.

. . . . . . · ·· . .
6=
6= 6.6.
(n−1) (n−1) (n−1) (n−1)
y y y · ·· y n
1 2 3
Al
donde W(y 1 ,y 2 ,y 3 ,. .., y n ) se conoce
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales como determinante Wronskiano.
Corolario 3.1 Para una ecuaci´ on diferencial de segundo orden se tendr´ ıa una soluci´ on del tipo
2 2
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3, y ′ ′
y(0) = 4 = c(0)
y = c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)
donde
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i

son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
̸=0
y 1 y 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
W(y 1 ,y 2 )=
y ′ y
′
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
condiciones 1 2
´ unica
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
Ejemplo 3.3
x
Compruebe que las funciones e y e −x son linealmente independientes.
3.3.
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
Soluci´ on: Empleando el Teorema 3.2 se establece la relaci´ on
coeficientes x −x =0 (3.6)
coeficientes constantesconstantesc 1 e + c 2 e
y su derivada
La
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
x
en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1 ee −axax en c 1 e − c 2 e −x =0 (3.7)
−
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comose tiene que c 1 =0. De (3.6) resulta
e Sumando las ecuaciones (3.6) y (3.7), se obtiene 2c 1 e =0 de donde
x
c 2 e −x = −c 1 e x (3.8)
(3.2)
a n yy ( (n)n) + ( (n−1)n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
+
+ a n−1 ya n−1 y
′′ ′′
′ ′
x
a n
−c 1 e
c 2 = −x = −c 1 e 2x (3.9)
e
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
Como c 1 =0 entonces c 2 =0 y las funciones son linealmente independientes.
construyen x
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
El ejemplo puede resolverse mediante el uso del determinante Wronskiano. Si se hace y 1 (x)= e y
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independientes
y 2 (x)= e , se obtiene y (x)= e y y (x)= −e . Se calcula ahora el determinante Wronskiano
−x
x
−x
′
′
1
2
independiente.
independiente.
e x e −x

x −x
x −x
x −x = −e e − e e = −2e e = −2e = −2 ̸=0
0
x −x
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
W(e ,e )=
−x
x
e
−e
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1

linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad
linealmente
(3.3)
2 Este Teorema constituye el principio de superposici´ on (3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0
c 1
58 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May