Page 57 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

Ejemplo 3.2
Soluciones de la ED ED
Soluciones de la

Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
2

yy
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
′
′
2 ′′
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que
′
′′
m =
m = yy
x y − 2xy +2y =6 ′ ′
2 ′′
′
00

2
2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
6= 6.
(x 0 ,y
(x 0 ,y 0 ) 0 )
Al verificar las condiciones iniciales
II xx
2
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3, y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1
′
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
Ejemplo 3.1 3.1
Ejemplo
−2xx diferenciales lineales homog´ eneas con
3.3. Soluci´ on de ecuaciones − 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
2x 2x
−2
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee
+ e + e
Verificar que la funci´ on y(x) =3
coeficientes constantes
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′′′′
′ ′
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
nencial y = c 1 e −ax en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
2 2
dy dy
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x
′
a 2 (x) (x) a n−1 y
a n y (n) a 2 + d y d y (n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 (3.2)
′′
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x)) y =0
dx dx dx dx
↓↓ ↓↓ ↓↓
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
= 12x
−4yy
−4
= 12x
yy
′′′′
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
evaluando las condiciones iniciales se tiene
evaluando las condiciones iniciales se tiene
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente. 2x 2x −2xx 2x 2x −2xx
−2
−2
y(x) =3ee + e + e − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e − 33
y(x) =3
y (x) =6
′ ′
−
−
−
00
00
00
00
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y (0)= 1 =6e − 2e − 33 = y n (x), se dice que es
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y
y (0)= 1 =6e − 2e −
linealmente independiente si la igualdad y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
′ ′
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 57