Page 56 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superiorarte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Ejemplo 3.23.2
Ejemplo
Soluciones de la ED

2 2
Verificar que la funci´ on y = cx + x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial+ x +3 es una soluci´ on del problema de valor inicial
Verificar que la funci´ on y = cx

y
2
x y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1y − 2xy +2y =6,y(0) = 3,y (0) = 1
x
′ ′
2 ′′′′
′ ′
en el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.el intervalo (−∞, ∞) para cualquier valor del par´ ametro c.
en
Soluci´ on: Puesto que y =2cx +1 y y =2c se tiene que=2cx +1 y y =2c se tiene que
Soluci´ on: Puesto que y
′ ′
′′ ′′
2
m =
x y − 2xy +2y =6y − 2xy +2y =6 y ′ 0
x
2 ′′′′
′ ′

2 2
2 2
x (2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6(2c) − 2x(2cx + 1) + 2(cx + x + 3) = 6
x
6=
6= 6.6.
(x 0 ,y 0 )
Al
Al verificar las condiciones inicialesverificar las condiciones iniciales
I x
y(0) = 4 = c(0) 2 2 y ′ ′
y (0)= 1=2c(0) + 1 = 1(0)= 1=2c(0) + 1 = 1
y(0) = 4 = c(0) +0+ 3 = 3,+0+ 3 = 3,
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i (x) al igual que g(x)=6(x) al igual que g(x)=6
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Aunque la ecuaci´ on diferencial del ejemplo 3.2 es lineal y los coeficientes a i
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2 (x)= x sea cero en x =0 y que las(x)= x sea cero en x =0 y que las
2 2
son continuos en cualquier parte, las dificultades obvias son que a 2
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x)
condiciones
condiciones iniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ oniniciales se impongan tambien en x =0. Por lo tanto, no se garantiza que exista una soluci´ on
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
´ unica en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.en todo el intervalo (−∞, ∞) ya que en x =0 no se satisface el Teorema 3.1.
´ unica
Ejemplo 3.1
3.3. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas conSoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas con
3.3.
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
2x
−2x
Verificar que la funci´ on y(x) =3e
+ e
coeficientes
coeficientes constantesconstantes
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 1
′′
′
La ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-ecuaci´ on lineal de primer orden dy/dx+ay =0,d´ onde a es una constante, tiene la soluci´ on expo-
La
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos y
en (−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones(−∞, ∞). Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones
nencial y = c 1 ee −axax en
−
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la
nencial y = c 1
exponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior comoxponenciales en (−∞, ∞) para ecuaciones de orden superior como
e
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
2
dy
(
(n)n)
(3.2)
(
+ a n−1 ya n−1 y + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x)
a n yy a 2 (x) d y (n−1)n−1) + · ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0· ·· + a 2 y + a 1 y + a 0 y =0 (3.2)
+
+
′ ′
′′ ′′
a n
dx 2 dx
↓ ↓ ↓
en donde las a i , i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se, i =0, 1, ..., n, son constantes. Las soluciones de (3.2) son funciones exponenciales o se
en donde las a i
y ′′ −4y = 12x
construyen a partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmentea partir de funciones exponenciales. El conjunto de soluciones de este tipo son linealmente
construyen
evaluando las condiciones iniciales se tiene
independientes
independientes. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente. Los siguientes Teoremas son ´ utiles para saber si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente.
independiente.
y(x) =3e 2x + e −2x − 3x y (x) =6e 2x − 2e −2x − 3
′
0
0
0
0
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1 (x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es(x), y = y 2 (x), y = y 3 (x), ..., y = y n (x), se dice que es
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y (0)= 1 =6e − 2e − 3
′
Teorema 3.2 Un conjunto de soluciones y = y 1
linealmente y(0)= 4 =3 y (0)= 1 =6 − 5=1
′
linealmente independiente si la igualdadindependiente si la igualdad + 1=4
(3.3)
c 1 y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0y 1 (x)+ c 2 y 2 (x)+ c 3 y 3 (x), ..., c n y n (x) =0 (3.3)
c 1
Dr J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
56 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May