Page 55 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Parte III: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

3.1. Introducci´ on Soluciones de la ED ED
Soluciones de la

En esta parte se discute la teor´
ıa preliminar de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden

yy
Superior. Se estudia un criterio que permite determinar si una familia de funciones es linealmente in-
dependiente o no. Con base en este criterio, se propone un conjunto de soluciones de tipo exponencial
que se combinan linealmente mediante el principio de superposici´ on para resolver ecuaciones diferen-
ciales lineales homog´ eneas de coeficientes constantes a partir del an´ alisis de las ra´ ıces de la ecuaci´ on
auxiliar asociada. En el caso de las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes no homog´ eneas,
m = yy
m =
′ ′
00
su soluci´ on consta de dos partes. La primera, se conoce como soluci´ on complementaria o transitoria y

se encuentra resolviendo la ecuaci´ on diferencial de la homog´ enea asociada. La segunda, conocida co-

mo soluci´ on particular, se determina mediante dos m´ etodos posibles: el de coeficientes indeterminados
(x 0 ,y 0 ) 0 )
(x 0 ,y
(empleando el enfoque de superposici´ on) y el de variaci´ on de par´ ametros que utiliza el determinante

Wronskiano. Se aplican los m´ etodos estudiados en diversos sistemas mec´ anicos, electricos y de defle-

xx
II
xi´ on de vigas, por citar algunos problemas de aplicaci´ on sujetos a condiciones iniciales o de frontera,
seg´ un sea el caso.
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Figura 3.1: Bosquejo gr´ afico del problema de valor inicial [Elaboraci´ on propia].
Los apuntes mostrados aqui fueron tomados de [5].
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
Teorema 3.1 Sean a n (x),a n−1 (x),. .., a 1 (x),a 0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea a n (x) ̸=0
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x))
para toda x en el mismo. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo, existe entonces una soluci´ on y(x
3.2. Teor´ ıa preliminar de ecuaciones diferenciales lineales de orden
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
del problema de valor inicial (3.1) en el intervalo, y tal soluci´ on es ´ unica.
superior
Ejemplo 3.1 3.1
Ejemplo
Definici´ on 3.1 Problema de valor inicial para una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n.
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
− 3x es soluci´ on del problema de valor inicial
2x 2x
−2
−2xx
+ e + e
Verificar que la funci´ on y(x) =3
Verificar que la funci´ on y(x) =3ee una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n, consiste en resolver
Un problema de valor inicial para
n−1
n
dy
d y y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) = 11
d
y
y(x) − 4y(x) = 12x, y(0) = 4,y (0) =
′′′′
′ ′
a n (x) + a n−1 (x) + · ·· + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x) (3.1)
dx n dx n−1 dx
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial es lineal. Los coeficientes as´ ı como g(x)=12x son continuos yy
sujeta a
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que
a 2 x(x)=1 ̸=0 en cualquier intervalo que contenga a x =0. Por el Teorema 3.1, se concluye que la la
y(x 0 )= y 0 ,y (x 0 )= y ,. .., y (n−1) (x 0 )= y (n−1)
′
′
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica.
funci´ on dada es la soluci´ on ´ unica. 0 0
d y d y arbitrarias. Los valores especificados y(x 0 )= y 0 , y (x 0 )=
donde y 0 ,y ,. .., y (n−1) son constantes 2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x ′
′
2 2
dy dy
a 2 (x) (x)
0
0
2 + a 1 (x) + a 0 (x)y = g(x))
a 2
dx dx
dx dx
y ,. ..,y (n−1) (x 0 )= y (n−1) , se llaman condiciones iniciales. Se busca una soluci´ on en algun intervalo I
′
0
0
↓↓ ↓↓ ↓↓
que contenga a x 0 .
−4
yy ′′′′ −4yy = 12x
= 12x
evaluando las condiciones iniciales se tiene
En el caso de una ecuaci´ on lineal de segundo
evaluando las condiciones iniciales se tiene orden, una soluci´ on del problema de valor inicial
−2xx
2x 2x
−2xx
2x 2x
−2
y (x) =6
y(x) =3
2
′ ′
y(x) =3ee dy
−
−
−
a 2 (x) d y 2 + a 1 (x) + e + e −2 − 3x 3x y (x) =6ee − 2e 2e ′ − 33 ′
+ a 0 (x)y = g(x),y(x 0 )= y 0 ,y (x 0 )= y
dx dx 0
00
00
00
00
′ ′
y(0)= 4 =3e + e − 3(0)
y(0)= 4 =3e + e − 3(0) y (0)= 1 =6e − 2e − 33
y (0)= 1 =6e − 2e −
es una funci´ on que satisface a la ecuaci´ on diferencial ′ ′ en el intervalo I cuya gr´ afica pasa por el punto
y(0)= 4 =3 + 1=4 y (0)= 1 =6 − 5=1
y(0)= 4 =3 + 1=4
y (0)= 1 =6 − 5=1
(x 0 ,y 0 ) tal que la pendiente de la curva en el punto es el valor de y .V´ ease la figura 3.1 El siguiente
′
0
Teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia de una soluci´ on ´ unica para (3.1).
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayDr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 55