Page 39 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte

Nota 2.1
Nota 2.12.1 Sean M(x, y) y N(x, y) funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden
Teorema
En
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
continuas en una regi´ on rectangular R definida por a< x< b, c< x< d. Entonces, una condici´ on
necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 sea ecuaci´ on diferencial exacta es que

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
0= c 33
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
∂M(x, y) ∂N(x, y)

A A(x)dx +(x)dx + = B B(y)dy(y)dy = = c 3 c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c (2.10)
∂y ∂x
donde
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
Demostraci´ on de la condici´ on necesaria
en
en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.
Para simplificar, sup´ ongase que M(x, y) y N(x, y) tienen derivadas parciales de primer orden con-
tinuas Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
Cabe para todos (x, y). Ahora bien, si la expresi´ on M(x, y)dx + N(x, y)dy es exacta, existe alguna
funci´
inte on f para la cual
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
riable. M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∂f dx + ∂f dy
Diferencial ∂x ∂y
Diferencial e Integral.e Integral.
para toda (x, y) en R. Por lo tanto,
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
Por
de ∂f ∂f
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
M(x, y)dx = dx y N(x, y)dy = dy
son:
son: ∂x ∂y
y derivando como se indica en la ecuaci´ on (2.10), se tiene
ln ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB

2 A A
∂M ∂ ∂f ∂ f ∂ ∂f ∂N
ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln = , , B B ̸=0̸=0
=
=
=
∂y ∂y ∂x ∂y∂x B B ∂x ∂y ∂x
P P ln A = ln Aln A = ln A P P
La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las derivadas parciales
u
u
de primer orden de M(x, y) y N(x, y). u u = ln e= ln e
ln ln uu = = uu
e e
Ejemplo 2.12
ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
Resolver la siguiente ecuaci´ on diferencial
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense
2y
2y
bles. (e − y cos xy)dx + (2xe − x cos xy +2y)dy =0
bles.
Ejemplo 2.12.1
Ejemplo
Soluci´ on: Esta ecuaci´ on no es homog´ enea ni de variables separables. Entonces se comprueba si es exacta
mediante dy el dy Teorema 2.1 como sigue
Resolverer
Resolv
2x
2x
=
= 1+ e1+ e
dx dx
Soluci´ ∂M
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
=2e 2y − xy sen xy − cos xy
∂y
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
∂N (1 + e 2x 2x
=2e 2y − xy sen xy − cos xy
∂x
de
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
De acuerdo con lo anterior, la ecuaci´ on diferencial dada es exacta y entonces se puede establecer el

siguiente sistema de ecuaciones (1 + e 2x 2x dy 0 0
dy ==
(1 + e )dx −)dx −
∂F 1 1 2y
= e − y cos xy
x + 2x 2x − − y = cy = c (2.11)
x + ee
∂x 2 2
∂F 2y 1 1
y = x + +2y.
=2xe − x cos xy 2x 2x − − cc (2.12)
y = x + ee
∂y 2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May 39
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´