Page 36 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P

Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
Sin
2.3.1. M´ etodo de soluci´ on
1 1
2
+(x,
Una ecuaci´ on diferencial homog´ enea M(x, y)dx 2xx + c.c. y)dy =0 se resuelve por medio de una
y = x + ee + N
y = x +
2 2
sustituci´ on algebraica. Espec´ ıficamente, cualquiera de las sustituciones y = ux o bien x = vy. Donde u
y v son nuevas variables dependientes que transformar´ an la ecuaci´ on diferencial original en una ecuaci´ on
diferencial de primer orden de variables separables.
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2
Para observar lo anterior, se sustituye y = ux, y su diferencial dy = udx + xdu, en (2.7)
Resolverer dy =
Resolv
dy
= sen xsen x
dx
dx M(x, ux)dx + N(x, ux)[udx + xdu] =0
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Ahora bien, por la homogeneidad expresada en (2.5) se puede escribir
sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
n
n
x M(1,u)dx + x N(1,u)[udx + xdu]= 0
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por
[M(1,u)+ uN(1,u)] dx + xN(1,u)du =0

dy
sen dy == 0 0
sen xdx −xdx −
de lo cual resulta
dx − cos x − y = ccos x − y = c
N(1,u)du
−
+ =0 (2.8)
x M(1,u)+ uN(1,u)
y = − cos x − c= − cos x − c
y
Cabe se˜ nalar que esta f´ ormula no debe memorizarse; m´ as bien, el procedimiento debe desarrollarse com-
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
pleto cada vez. La demostraci´ on de que el sustituir x = vy en la ecuaci´ on diferencial (2.7) tambi´ en lleva
y como ejercicio.
a una ecuaci´ on de variables separables se deja
y = − cos x + c= − cos x + c
Ejemplo 2.8
Ejemplo
Ejemplo 2.32.3
Resolver (x − y)dx + xdy =0
Soluci´ on: La ecuaci´ on no es de variables separables. Puesto que N(x, y) es m´ as simple que M(x, y), se
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
utiliza la sustituci´ on y = ux y dy = udx + xdu:
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
(x − ux)dx + x(udx + xdu)= 0
dx
dx dy dy
=0
− − =0
x(1 − u)dx y y
1+ +
1+ xx x(udx + xdu)= 0
de (1 − u + u)dx +
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembroxdu =0

dx
dx dy dy
dx + xdu =0
− − = = 0 0
1+ xx
1+ y y dx
+ du =0
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
ln(1
x
Esta ´ ultima expresi´ on ahora tiene la forma A(x)dx + B(u)du =0, que corresponde a la ecuaci´ on (2.2)
Es
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
teniendo a x ya u como variables. Dado
que ahora se tiene una ecuaci´ on de variables separables, es
dx dy dy
dx
posible obtener la soluci´ on integrando cada uno de = ln cln c
− −sus t´ erminos como sigue
=
1+ y y
1+ xx

dx
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
Ademas, A A con + du = 0
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B x

1+ xx x + u = c
1+ ln
= ln cln c
ln ln =
y y
haciendo el cambio de variable u = y/x y reduciendo la expresi´ on se obtiene la soluci´ on
1+
1+ xx
= cc
= y
y y
ln x = − + c
x 1+
1+ xx
y
y ==
x ln x = −y + cx
c c
36 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.