Page 44 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoDividiendo (2.24) entre a 1 (x) resulta la forma m´ as ´ util de una ecuaci´ on diferencial lineal
dy 1 1
2
2xx
y = x + (x)y
+ P
y = x + ee= f(x). (2.25)
+
+ c.c.
dx 2 2
Se busca la soluci´ on de (2.25) en un intervalo I en el cual P(x) y f(x) son continuas. En lo que sigue se
supone que (2.25) tiene soluci´ on. Sup´ ongase que la ecuaci´ on (2.25) se escribe en la forma diferencial
Ejemplo 2.22.2
Ejemplo
dy +[P(x)y − f(x)]dx =0 (2.26)
dy
Resolv dy = sen xsen x
Resolverer
=
dx
dx
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la propiedad de que siempre es posible encontrar una funcion
Soluci´
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
µ(x) tal que el m´ ultiplo de (2.25),
sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
µ(x)dy + µ(x)[P(x)y − f(x)]dx =0 (2.27)
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por
es una ecuacion diferencial exacta. Se sabe que el primer miembro de la ecuacion (2.27) ser´ a una dife-

dy
rencial exacta si sen dy == 0 0
sen xdx −xdx −
∂
∂ − cos x − y = ccos x − y = c
−
µ(x)= (µ(x)[P(x)y − f(x)])
∂x ∂y y
y = − cos x − c= − cos x − c
dµ(x)
= µ(x)P(x)
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como (2.28)
Sin
dx
La ecuaci´ on diferencial (2.28) es de variables separables a partir de la cual puede determinarse el factor
y = − cos x + c= − cos x + c
y
de integracion µ(x). As´ ı,

dµ(x)
Ejemplo 2.32.3
Ejemplo µ(x) = P(x)dx

Resolv ln µ(x)= P(x)dx
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
Soluci´ µ(x)= e P(x)dx (2.29)
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
dx dy dy
dx
A la funcion µ(x) definida en (2.29) se le llama factor =0
− − integrante de la ecuaci´ on diferencial lineal (2.25).
=0
1+ xx
1+ y y
Enseguida se presenta el m´ etodo de soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden.
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
de

dx dy dy
dx
0 0
M´ etodo de soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial lineal de primer orden
= =
− −
1+
y y
1+ xx
ln(1
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
1. Escr´ ıbala en la forma (2.25). Esto es, haga que el coeficiente de dy/dx sea igual a 1.
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
Es
2. Identifique la funcion P(x) y determine el factor P(x)dx .
integrante µ(x)= e

dx
dx dy dy
= ln cln c
− − =
3. Multiplique la ecuacion obtenida en el y y por el factor integrante obtenido en el paso 2.
1+ primer paso
1+ xx
Esto
Ademas, es, A A con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B
dy
)dx
e P(x)dx + e P(x P(x)y = e P(x)dx f(x)
1+ xx
1+
dx
ln ln = ln cln c
=
y y
4. El lado izquierdo de la ecuaci´ on obtenida en el paso 3 es la derivada del producto del factor inte-
1+ xx
1+
grante y la variable dependiente y. Esto es, =
= cc
y y
d 1+ xx
1+

e P(x)dx yy P(x)dx f(x)
y == = e
dx c c
44 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May