Page 34 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
P Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoEjemplo 2.6
1 1
Verificar si las siguientes funciones son homog´ eneas 2 2xx +
y = x + ee o no
y = x +
+ c.c.
2 2
2
a) f(x, y)= x − 3xy +5y 2
Soluci´ on:
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2
2
dy
Resolverer
Resolv dy = sen xsen x f(tx, ty)= (tx) − 3(tx)(ty)+5(ty) 2
=
dx
dx
2
2 2
2 2
Soluci´ = t x − 3t xy +5t y
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
2
2
2
= t [x − 3xy +5y ]
sen
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
2
f(tx, ty)= t f(x, y)
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por

La funci´ on es homog´ enea de grado n =2.
dy
sen dy == 0 0
sen xdx −xdx −
− cos x − y = ccos x − y = c
2
b) f(x, y)= 3 x + y 2 −
Soluci´ on: y = − cos x − c= − cos x − c
y
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como

2
f(tx, ty)= 3 (tx) +(ty) 2
y = t x + t y
2 2
3
y = − cos x + c= − cos x + c 2
2

2
2
2
= 3 t (x + y )
Ejemplo
Ejemplo 2.32.3 f(tx, ty)= t 2/3 f(x, y)
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0 de grado n =2/3.
Resolv La funci´ on es homog´ enea
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
3
3
c) f(x, y)= x + y +1
dx dy dy
dx
=0
Soluci´ on: − − =0
1+ xx y y
1+
de
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro
3
3
f(tx, ty)= (tx) +(ty) +1

dx
dx dy dy
= =
3 3
3 3
0 0
− − = t x + t y +1
1+ xx
1+ y y
3
3
ln(1 = t (x + 3
ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c y )+1
3
f(tx, ty) ̸= t f(x, y)
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
Es

dx
dx dy dy
3
3 3
3 3
3
La funci´ on no es homog´ enea ya que t f(x, − − y)= t x + t y )+ t .
=
= ln cln c
1+ y y
1+ xx
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
Ademas,
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
2 2
3
d) f(x, y)=6xy − x y A A con
B B
Una forma de identificar que una funci´

1+ xx sea homog´ enea consiste en inspeccionar los grados de
1+ on
=
ln ln = ln cln c
sus t´ erminos. Si todos los t´ erminos son y y del mismo grado n, entonces la funci´ on es homog´ enea de
1+ xx
grado n. 1+ = cc
=
y y
En este caso, el t´ ermino 6xy es de grado 4 y el t´ ermino x y tambi´ en es de grado 4. Por lo tanto
2 2
3
1+
1+ xx
y
la funci´ on es homog´ enea de grado n =4. y ==
c c
34 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May