Page 38 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Ordenarte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comoque v = x/y se tiene
Dado
1 1 1 2xx
2
+ c.c.
y = x +
y = x + ee = c
ln y − +
x 2 2 +1
y
y
ln y − = c
x + y
Ejemplo
Ejemplo 2.22.2
La expresi´ on anterior corresponde a la soluci´ on general del problema. Ahora sustituimos el punto dado
para determinar la constante arbitraria
Resolverer
dy
dy
Resolv
=
= sen xsen x
dx
dx
Soluci´ 1
Soluci´ on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: Notamos que la ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
ln 1 − = c → c = −1
0+1
sen xdx − dy =0xdx − dy =0
sen
Sustituyendo este valor de c se tiene
por lo que es de variables separables. Se integra cada t´ erminolo que es de variables separables. Se integra cada t´ ermino
por
y

ln y − = −1
sen x + y 0 0
dy ==
dy
sen xdx −xdx −
(x + y) ln y − y = −x − y
− cos x − y = ccos x − y = c
−
(x + y) ln y y − x =0
y = − cos x − c= − cos x − c
Sin
Sin p´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda comop´ erdida de generalidad, se puede hacer −c = c de manera que la soluci´ on queda como
y = − cos x + c= − cos x + c
y
2.4. Ecuaciones diferenciales exactas y factores de integraci´ on
Ejemplo on
Ejemplo 2.32.3 2.5 Ecuaci´ on diferencial exacta
Definici´
Una expresi´ on diferencial de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy es una diferencial exacta en una regi´ on
Resolv
Resolver ydx − (1 + x)dy =0er ydx − (1 + x)dy =0
R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna funci´ on F(x, y). Esto es
Soluci´
Soluci´ on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)on: Dividiendo entre el t´ ermino (1 + x) es posible obtener la forma (2.2)
dx
dy dy
dx
M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∂F dx + ∂F dy (2.9)
=0
− − =0 ∂y
∂x
1+ y y
1+ xx
de donde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembrodonde se tiene, por integraci´ on directa de cada miembro dice que es una ecuaci´ on diferencial exacta si
de ecuaci´ on diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy =0 se
Una
la expresi´ on del primer miembro es una diferencial exacta.

dy dy
dx
dx
− − = = 0 0
1+
1+ xx y y
ln(1
Ejemplo 2.11 ln(1 + x) − ln y = c+ x) − ln y = c
Es posible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora comoposible hacer c = ln c, por lo que la soluci´ on puede escribirse ahora como
Es
La ecuaci´ on x y dx+x y dy =0 es exacta puesto que su miembro izquierdo corresponde a la diferencial
3 2
2 3

dx
dx
dy dy
3 3
total de la funci´ on F(x, y) =1/3x y como se muestra enseguida
=
= ln cln c
− −
1+ xx y y
1+
∂ 1 3 3 ∂ 1 3 3
x y
x y
Ademas, d(F(x, y)) = d A A 1 3 3 = 3 dx + 3 dy
con B ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on comoB ̸=0 entonces se puede rescribir la soluci´ on como
con
Ademas, dado que ln A − ln B = lndado que ln A − ln B = ln
B B x y
3 ∂x ∂y

1+ 2 3 3 2
1+ xx
= y dx
ln ln = x = ln cln c + x y dy
y y
1+
1+ xx
= cc
=
y y
El siguiente teorema constituye un criterio para determinar si una ecuaci´ on diferencial de primer
1+
1+ xx
orden es exacta. y
y ==
c c
DrL. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
38 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz MayJ.